Известно,что $%a,b,c > 0$% и $%a+b+c = \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$%. Как найти минимум?:$$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$$

задан 17 Окт '19 17:20

изменен 17 Окт '19 18:35

10|600 символов нужно символов осталось
1

Вариант решения с применением WolframAlpha. $$a=x^3,b=y^3,c=z^3,$$ $$x+y+z≥3⇔(x+y+z)^6(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)≥3^6x^3y^3z^3(x^3+y^3+z^3).$$ WolframAlpha вычисляет разность левой и правой частей последнего неравенства: $$x^9 y^3 + x^9 z^3 + 6 x^8 y^4 + 6 x^8 y^3 z + 6 x^8 y z^3 + 6 x^8 z^4 + 15 x^7 y^5 + 30 x^7 y^4 z + 15 x^7 y^3 z^2 + 15 x^7 y^2 z^3 + 30 x^7 y z^4 + 15 x^7 z^5 + 20 x^6 y^6 + 60 x^6 y^5 z + 60 x^6 y^4 z^2 - 688 x^6 y^3 z^3 + 60 x^6 y^2 z^4 + 60 x^6 y z^5 + 20 x^6 z^6 + 15 x^5 y^7 + 60 x^5 y^6 z + 90 x^5 y^5 z^2 + 81 x^5 y^4 z^3 + 81 x^5 y^3 z^4 + 90 x^5 y^2 z^5 + 60 x^5 y z^6 + 15 x^5 z^7 + 6 x^4 y^8 + 30 x^4 y^7 z + 60 x^4 y^6 z^2 + 81 x^4 y^5 z^3 + 90 x^4 y^4 z^4 + 81 x^4 y^3 z^5 + 60 x^4 y^2 z^6 + 30 x^4 y z^7 + 6 x^4 z^8 + x^3 y^9 + 6 x^3 y^8 z + 15 x^3 y^7 z^2 - 688 x^3 y^6 z^3 + 81 x^3 y^5 z^4 + 81 x^3 y^4 z^5 - 688 x^3 y^3 z^6 + 15 x^3 y^2 z^7 + 6 x^3 y z^8 + x^3 z^9 + 15 x^2 y^7 z^3 + 60 x^2 y^6 z^4 + 90 x^2 y^5 z^5 + 60 x^2 y^4 z^6 + 15 x^2 y^3 z^7 + 6 x y^8 z^3 + 30 x y^7 z^4 + 60 x y^6 z^5 + 60 x y^5 z^6 + 30 x y^4 z^7 + 6 x y^3 z^8 + y^9 z^3 + 6 y^8 z^4 + 15 y^7 z^5 + 20 y^6 z^6 + 15 y^5 z^7 + 6 y^4 z^8 + y^3 z^9.$$ Это выражение (61 положительный коэффициент и 3 отрицательных коэффициента) неотрицательное, что доказывается неравенством Мюрхеда.

ссылка

отвечен 18 Окт '19 11:52

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%c\ge 1$%

$$x=c-\dfrac{1}{c}=(a+b)\left(\dfrac{1}{ab}-1\right)\ge 2\sqrt{ab}\left(\dfrac{1}{ab}-1\right)$$

$$\sqrt{ab}\ge \dfrac{\sqrt{x^2+16}-x}{4}$$

$$\sqrt[3]a+\sqrt[3]b+\sqrt[3]c \ge 2\sqrt[6]{ab}+\sqrt[3]c\ge\sqrt[3]2\cdot\sqrt[3]{\sqrt{x^2+16}-x}+\dfrac{1}{\sqrt[3]2} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{x^2+4}+x}=f(x)$$

$$f'(x)\ge0 \Leftrightarrow (\sqrt{x^2+4}+x)^2\cdot(\sqrt{x^2+16}+x)^2\ge \left(16\cdot\dfrac{x^2+4}{x^2+16}\right)^3$$

$$(\sqrt{x^2+4}+x)^2\ge 2x^2+4x+4\ \ ,\ \ (\sqrt{x^2+16}+x)^2 \ge 2x^2+8x+16$$

$$(x^2+2x+2)(x^2+4x+8)\ge 1024 \left(\dfrac{x^2+4}{x^2+16}\right)^3 \Leftrightarrow$$

$$x(x^9+6x^8+66x^7+312x^6+624x^5+5760x^4+6400x^3+43008x^2+36864x+98304)\ge 0$$

ссылка

отвечен 19 Окт '19 15:32

Неужели,нет способа попроще ?

(19 Окт '19 19:59) jao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,482
×455
×54

задан
17 Окт '19 17:20

показан
215 раз

обновлен
19 Окт '19 19:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru