В n урн случайным образом бросается k шаров. Найти среднее и дисперсию числа непустых урн. Помогите, пожалуйста, что-то слишком громоздкий ряд получается.

задан 17 Окт '19 20:07

@Хаапсалу: у меня нет уверенности, что эта задача будет иметь какой-то красивый ответ. Я посмотрел случаи небольших значений k. Если для среднего ещё можно чего-то ожидать (хотя я и в этом не уверен), то для дисперсии там при k=3 ответ уже подозрительно выглядит.

P.S. Сейчас заодно посчитал на компьютере случай k=4. Стало ясно, что все выражения постепенно усложняются. Очень удивлюсь, если узнаю, что к этой задаче у кого-то есть хороший ответ.

(18 Окт '19 2:13) falcao

@falcao, если Вам интересно, https://drive.google.com/file/d/1QFQNBp6p70MJPxXyufiqn9ElHOOlJYwO/view вот здесь случайно наткнулся на решение этой задачи

(19 Окт '19 0:22) Хаапсалу

@Хаапсалу: да, это интересно; спасибо за ссылку. Решение там вообще-то простое, и ответ хороший, и я смутно вспоминаю, что нечто похожее на форуме уже звучало. Мой ответ для k=4 сошёлся. Я потом проверил, что если не раскладывать на множители, а раскрыть скобки, то закономерность тут сразу становится видна. Правда, для случая дисперсии я не знаю, будет ли там хороший ответ. Сейчас попробую проверить -- вполне возможно, что там тоже что-то приличное получится. Я сложность этой задачи несколько переоценил.

(19 Окт '19 0:41) falcao

@falcao: я наверное, чего-то не понимаю, мне кажется дисперсия равна 0. Ведь хар. функция в квадрате равна самой себе. Но тут где-то ошибка. Буду рад, если Вы напишете свои рассуждения насчет дисперсии

(19 Окт '19 1:58) Хаапсалу

@Хаапсалу: дисперсия равна нулю только для константных случайных величин. Здесь это не так, потому что случайная величина может принимать разные значения. Из того, что индикаторная функция в квадрате равна себе, ровным счётом ничего не следует.

(19 Окт '19 2:08) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Про матожидание уже говорили, найдём дисперсию.

Случайная величина $%X$% (число непустых урн) равна сумме $%X=X_1+\cdots+X_n$%, где $%X_i$% -- индикатор того, что $%i$%-я урна непуста. Мы уже знаем, что $%MX_i=P(X_i=1)=1-(1-\frac1n)^k$%.

Далее, $%DX={\rm cov}(X,X)=\sum\limits_{i=1}^n{\rm cov}(X_i,X_i)+2\sum\limits_{i < j}{\rm cov}(X_i,X_j)$%. Имеем $%{\rm cov}(X_i,X_i)=DX_i=MX_i^2-(MX_i)^2=MX_i-(MX_i)^2=(1-\frac1n)^k(1-(1-\frac1n)^k)=$%

$%=(1-\frac1n)^k-(1-\frac1n)^{2k}$%. При $%i < j$% получаем $%{\rm cov}(X_i,X_j)=MX_iX_j-MX_iM_j$%. Вычитаемое нам известно, а для уменьшаемого имеем

$%MX_iX_j=P(X_iX_j=1)=1-P(\{X_i=0\}\cup\{X_j=0\})=$%

$%=1-P(X_i=0)-P(X_j=0)+P(X_i=X_j=0)=1-2(1-\frac1n)^k+(1-\frac2n)^k$% и далее

$%MX_iMX_j=(1-(1-\frac1n)^k)^2=1-2(1-\frac1n)^k+(1-\frac1n)^{2k}$%, поэтому

$%{\rm cov}(X_i,X_j)=(1-\frac2n)^k-(1-\frac1n)^{2k}$%. Окончательно имеем

$%DX=n(1-\frac1n)^k-(1-\frac1n)^{2k})+n(n-1)((1-\frac2n)^k-(1-\frac1n)^{2k})$%, что упрощается до $%n(1-\frac1n)^k+n(n-1)(1-\frac2n)^k-n^2(1-\frac1n)^{2k}$%.

ссылка

отвечен 19 Окт '19 3:17

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,365

задан
17 Окт '19 20:07

показан
289 раз

обновлен
19 Окт '19 3:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru