дифференциальные-уравнения - Вариационное исчисление в оптимизации

Задача: Популяция рыб в озере растет согласно правилу N'(t) = a N(t) - b n^2(t), если при этом люди не вмешиваются в среду. Но рыба могут ловить и потреблять согласно некоторой функции c(t), удовлетворяющей функции полезности u(t). Тогда N(t) изменяется согласно следующему правилу: N'(t) = a N(t) - b n^2(t) - c(t). Предположим, что функция полезности дисконтируется со значением r. Найдите оптимальный план рыболовли для максимизации функции полезности. Предположите, что N(0)=a/b, u'>0, u''<0.

Согласно условиям задачи можно составить следующую систему: $$ \int_{0}^{\infty} e^{-rt} u(c(t)) dt \to max $$ $$ s.t. N'(t) = a N(t) - b n^2(t) - c(t), N(0) = a/b, u'<0, u''>0. $$ При решении составляем Лагранжиан: $$ L(N, u, c, \lambda) = u(c(t)) + \lambda (a N(t) - b n^2(t) - c(t)) $$ Он выпуклый и максимум достигается при $$u' = \lambda$$. Но непонятно, как найти N(t) (При решении системы без c(t) получается, что а всегда равно 0), непонятно как найти lambda. Помогите, пожалуйста.