Как определить экстремумы функции $%f(x,y)=e^yx^2$%, если $%y^2+2x^2=12, x > 0, y > 0$%.

задан 16 Фев '12 18:19

изменен 16 Фев '12 20:59

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
2

А в чем Ваше затруднение? Вы не знаете метод функций Лагранжа? Или не смогли его применить? Тогда в каком месте произошел сбой? Нужно ли Вам найти критические точки или сделать полное исследование?

Функция Лагранжа в данном примере имеет вид $%e^yx^2 +\lambda (y^2+2x^2-12)$%. Ее частные производные надо приравнять к 0 и решить эту систему совместно с уравнением связи. В области x>0,y>0 там получается единственное решение. Если нужно еще определить тип экстремума, надо исследовать матрицу вторых производных. Но там могут быть трудности, если форма неопределенная.

ссылка

отвечен 16 Фев '12 23:04

Да, nadyalyutik оказалась(лся) наблюдательнее меня! Я как-то привыкла к общим методам! Единственно, если такое задание дается на контрольной, то преподаватель хочет проверить знание метода Лагранжа. А другое решение, хотя и более простое, оставит его в недоумении: знает студент или нет. У меня много раз так было: стараюсь дать задание попроще, а оно оказывается слишком простым.

(17 Фев '12 14:53) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
2

Кроме метода Лагранжа можно воспользоваться более примитивным методом, но более понятным для начинающих. Выразить из уравнения связи одну из переменных, подставить в выражение для функции, тогда функция будет зависеть не от двух переменных, а от одной. Провести исследование на экстремум функции одной переменной. В данном примере удобно выразить из уравнения связи x^2, x^2=(12-y^2)/2. Тогда получим функцию f(y)=e^y(6-y^2/2). Ну, а дальше по известной схеме: найти производную первого порядка по переменной y, приравнятъ к нулю, исследовать знаки производной в интервалах знакопостоянства производной( как в методе интервалов при решении неравенств), посмотреть, меняет ли знак производная при переходе через какие то точки, и т.д

ссылка

отвечен 17 Фев '12 12:38

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×476
×336
×69

задан
16 Фев '12 18:19

показан
1562 раза

обновлен
17 Фев '12 14:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru