|
Как определить экстремумы функции $%f(x,y)=e^yx^2$%, если $%y^2+2x^2=12, x > 0, y > 0$%. задан 16 Фев '12 18:19 
real |
|
А в чем Ваше затруднение? Вы не знаете метод функций Лагранжа? Или не смогли его применить? Тогда в каком месте произошел сбой? Нужно ли Вам найти критические точки или сделать полное исследование? Функция Лагранжа в данном примере имеет вид $%e^yx^2 +\lambda (y^2+2x^2-12)$%. Ее частные производные надо приравнять к 0 и решить эту систему совместно с уравнением связи. В области x>0,y>0 там получается единственное решение. Если нужно еще определить тип экстремума, надо исследовать матрицу вторых производных. Но там могут быть трудности, если форма неопределенная. отвечен 16 Фев '12 23:04 
DocentI Да, nadyalyutik оказалась(лся) наблюдательнее меня! Я как-то привыкла к общим методам! Единственно, если такое задание дается на контрольной, то преподаватель хочет проверить знание метода Лагранжа. А другое решение, хотя и более простое, оставит его в недоумении: знает студент или нет. У меня много раз так было: стараюсь дать задание попроще, а оно оказывается слишком простым.
(17 Фев '12 14:53)
DocentI
|
|
Кроме метода Лагранжа можно воспользоваться более примитивным методом, но более понятным для начинающих. Выразить из уравнения связи одну из переменных, подставить в выражение для функции, тогда функция будет зависеть не от двух переменных, а от одной. Провести исследование на экстремум функции одной переменной. В данном примере удобно выразить из уравнения связи x^2, x^2=(12-y^2)/2. Тогда получим функцию f(y)=e^y(6-y^2/2). Ну, а дальше по известной схеме: найти производную первого порядка по переменной y, приравнятъ к нулю, исследовать знаки производной в интервалах знакопостоянства производной( как в методе интервалов при решении неравенств), посмотреть, меняет ли знак производная при переходе через какие то точки, и т.д отвечен 17 Фев '12 12:38 
nadyalyutik |