Доказать:

  1. $${\mathbb{Z}}_{p^\infty}\cong\{\xi\in\mathbb{C}^\ast\:\vert\;\exists k\geqslant0\;\xi^{p^k}=1\}\;(Группа\;корней\;p^k-й\;степени\;из\;1)$$

  2. $$\forall A <= Z_{p^{\infty}} (A-бесконечная\;\Rightarrow A={\mathbb{Z}}_{p^\infty})$$

  3. $$\forall k\;\exists!A\subset{\mathbb{Z}}_{p^\infty}\;\vert A\vert=p^k\;A=< g_k >$$

задан 18 Окт '19 21:30

изменен 18 Окт '19 22:49

@fhimlosok: в условии есть много ошибок. В пункте 1 говорится о корнях k-й степени из 1, в то время как рассматриваются корни p^k-й степени из 1 по всем k. В пункте 2 сначала написано, что A -- подмножество Z_p, и тогда оно заведомо конечно, а потом вдруг говорится, что A бесконечная. Знак подмножества и знак подгруппы здесь путаются.

Мне в принципе здесь понятно, что хотели сказать, только условие желательно было бы исправить.

(18 Окт '19 22:14) falcao

@falcao Вроде-бы исправил.

(18 Окт '19 22:22) fhimlosok

@fhimlosok: в пункте 2 должно быть не A < Z_p (в этом случае A конечна), а A <= Z_{p^{\infty}}. Там берётся произвольная бесконечная подгруппа квазициклической группы.

(18 Окт '19 22:45) falcao

@falcao именно <=?

(18 Окт '19 22:47) fhimlosok

@fhimlosok: я бы поставил знак <=, который допускает равенство. В противном случае мы получили бы A < A, что смотрится не очень хорошо.

(18 Окт '19 22:52) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Проще всего условие было бы сформулировать так. Требуется описать все подгруппы квазициклической группы. Бесконечная подгруппа здесь одна, и это сама $%\mathbb Z_{p^{\infty}}$%, а конечная подгруппа порядка $%p^k$% ровно одна для каждого $%k$%, и она циклическая. Оба утверждения доказываются просто.

Прежде всего, множество комплексных корней степени $%n$% из единицы является циклической подгруппой порядка $%n$%, порождённой первообразным корнем $%\zeta_n=e^{2\pi i/n}$%. Её естественно обозначить в виде $%\mathbb Z_n$%. Тогда квазициклическая группа $%\mathbb Z_{p^{\infty}}$% по определению является объединением вложенной цепочки подгрупп: $$\mathbb Z_p < \mathbb Z_{p^2} < \cdots < \mathbb Z_{p^k} < \cdots\ .$$ Всякий элемент этой группы имеет конечный порядок. Число элементов заданного порядка $%n=p^k$% конечно. Поэтому, если $%A$% -- бесконечная подгруппа, то она содержит элементы сколь угодно большого порядка. Элемент порядка $%p^k$% порождает подгруппу $%\mathbb Z_{p^k}$%, и тогда $%A$% содержит бесконечно много членов цепочки вида $%\mathbb Z_{p^k}$% для сколь угодно больших $%k$%. Это значит, что $%A$% совпадает со всем объединением, то есть $%A=\mathbb Z_{p^{\infty}}$%.

Теперь пусть $%A$% -- конечная подгруппа. Тогда порядки её элементов ограничены, и можно выбрать элемент из $%A$% максимального порядка $%p^k$%. Тогда он принадлежит циклической подгруппе $%\mathbb Z_{p^k}$%, и порождает её, что и требовалось доказать.

ссылка

отвечен 18 Окт '19 22:44

Разобрался, большое спасибо! Главное, что получилось разобраться с условием, поскольку оно изначально было достаточно криво записано.

(18 Окт '19 22:57) fhimlosok

@fhimlosok: да, согласен -- условие было записано неудачно, с большим числом ошибок. На мой взгляд, слова намного яснее формул.

(18 Окт '19 23:09) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,016
×1,189
×333
×185

задан
18 Окт '19 21:30

показан
397 раз

обновлен
18 Окт '19 23:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru