Можно ли без производной найти наименьшее значение выражения $%\frac{4-x^2}{(x^2+1)^2}$%?

задан 19 Окт '19 9:01

1

Можно без тригонометрии, просто разбить на простейшие дроби: $%\frac{4-x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{5}{(x^2+1)^2}-\frac{1}{x^2+1}$%

(19 Окт '19 9:22) caterpillar

@caterpillar, а как далее строго обосновать?

(19 Окт '19 9:29) alena ivanova
1

@alena ivanova Просто сделать замену $%t = 1/(x^2+1)$%

(19 Окт '19 9:32) potter
1

Это фактически то же, что у @potter: кв. трёхчлен $%f(t)=5t^2-t\geq f(t_0)$%, где $%t_0=\frac{1}{10}$% -- вершина параболы. Сами точки минимума $%x$% при этом находить по условию задачи не требуется, но можно и их найти.

(19 Окт '19 9:33) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
0

Например сделать замену $%x = \text{tg} \alpha$%,тогда используя тождество $%1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$%: $$\frac{4-x^2}{(x^2+1)^2} = (4 - \text{tg}^2 \alpha)\cos^4 \alpha =\Big (4 - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\Big)\cos^4 \alpha = 4\cos^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha= $$ $$=4\cos^4 \alpha - (1-\cos^2\alpha)\cos^2\alpha = 5\cos^4 \alpha - \cos^2\alpha$$ Получили квадратный трехчлен относительно $%\cos^2 \alpha$%.Его минимум достигается в точке $%\frac{1}{10}$% и равен $%-\frac{1}{20}$%.

Из $%\cos^2 \alpha = \frac{1}{10}$% легко находится $%x$%: $% 1 + x^2 = 10$% ,$%x = +-3$%

ссылка

отвечен 19 Окт '19 9:15

изменен 19 Окт '19 9:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×86

задан
19 Окт '19 9:01

показан
90 раз

обновлен
19 Окт '19 10:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru