Ну, а можно ли - в принципе! - построить такой 4-угольник, у которого стороны и диагонали были бы целочисленными?

задан 2 Июн '13 10:13

изменен 2 Июн '13 13:53

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
2

Конечно, можно -- например, прямоугольник со сторонами 3 и 4. Обе диагонали при этом равны 5.

Видимо, здесь нужно наложить какие-то ещё требования целочисленности, чтобы вопрос представлял интерес.

Если мне память не изменяет, то для всякого $%n\ge3$% есть примеры $%n$% точек на окружности целочисленного радиуса, где расстояния между любыми парами точек -- тоже целые числа.

Добавление. Соответствующий пример строится несложно. Возьмём какой-нибудь малый угол $%\alpha$% с рациональным тангенсом. Тогда у удвоенного угла синус и косинус будут рациональны, так как они рационально выражаются через тангенс половинного угла. Теперь в единичном круге с центром $%O$% проведём много радиусов, чтобы между соседними радиусами угол был равен $%4\alpha$%. Тогда понятно, что расстояние между точками $%X$%, $%Y$% будет равно удвоенному синусу половины угла $%OXY$%, и если углы между всеми (не только соседними!) радиусами кратны $%4\alpha$%, то все расстояния между концами радиусов будут рациональны. Домножение на подходящий множитель приводит к целочисленным расстояниям.

ссылка

отвечен 2 Июн '13 10:21

изменен 2 Июн '13 11:46

Конечно, имелся в виду не прямоугольник, а 4-угольник произвольного вида. В отношении окружности, пожалуй, Вы правы, хотя Вашей памяти я доверяю больше, чем своей интуиции. Спасибо.

(2 Июн '13 11:04) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh...: что такое четырёхугольник произвольного вида? Такого понятия в строгом виде не имеется, хотя все мы понимаем, что это значит. Мыслить в таких терминах можно, и обычно мы это делаем, но когда формулируется задача, то надо все требования указывать явно. Формально прямоугольник тут подходит. Но это всё, конечно, не принципиально, так как примеров четырёхугольников "неправильной" конфигурации хоть отбавляй. Кстати, идея построения $%n$% точек довольно простая. Сейчас я напишу про это в добавлении.

(2 Июн '13 11:39) falcao

Имея сколь угодно много конечное число целочисленных отрезков, нетрудно построить выпуклый многоугольник, но его диагонали...? По-моему, из Добавления по этому вопросу ничего не следует.

(2 Июн '13 16:10) nikolaykruzh...

Следует, потому что рассматриваются все пары точек, а не только соседние. Это охватывает и случай сторон, и случай диагоналей. Важно, чтобы угол между радиусами был кратен $%4\alpha$%.

(2 Июн '13 16:14) falcao

Согласен. Слишком бегло я просмотрел Добавление. Спасибо.

(2 Июн '13 16:28) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,301

задан
2 Июн '13 10:13

показан
452 раза

обновлен
2 Июн '13 16:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru