Вычислите с точностью до двух знаков после запятой неподвижную точку отображения (sin ⁡x)/2+1:R→R

задан 19 Окт '19 19:11

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%f(x)=\frac{\sin x}{2}+1$%, тогда $%|f(x)-f(y)|=\frac{1}{2}|\sin x-\sin y|\leq\frac{1}{2}|x-y|$%, т.е. отображение сжимающее с коэффициентом $%q=\frac{1}{2}$%. Поскольку $%\mathbb{R}$% -- полное пространство, то отображение имеет единственную неподвижную точку, т.е. уравнение $%x=f(x)$% имеет единственное решение $%x^\ast$%. Из теории известно, что оценка приближения к $%x^\ast$% имеет вид: $%|x_n-x^\ast|\leq\frac{q^n}{1-q}\cdot|x_1-x_0|$%. Выберем начальное приближение $%x_0=0$%, тогда $%x_1=f(x_0)=1$%. Тогда для нахождения количества итераций получаем неравенство $%\frac{q^n}{1-q}\leq10^{-2}$%, откуда $%n-1\geq\frac{-2}{\lg0,5}\approx6,6$%, поэтому достаточно взять $%n=8$%. За столько шагов будет достигнута требуемая точность при вычислении по рекуррентной формуле $%x_{n+1}=f(x_n)$%, т.е. $%n=1,...,7$%.

ссылка

отвечен 19 Окт '19 19:26

@caterpillar: спасибо

(19 Окт '19 19:28) Lemke

@caterpillar: интересно, что 7 итераций дают аж 7 верных цифр. Это само по себе не удивляет, но иллюстрирует то, что стандартные оценки точности приближения далековаты от "точности" :)

(19 Окт '19 19:53) falcao

@falcao, я тоже посчитал, что нужная точность достигается где-то на 3-4 итерации. Однако, радует, что тут хоть какие-то теоретические оценки есть, пусть и завышенные.

(19 Окт '19 20:01) caterpillar

@caterpillar: подскажите пожалуйста, какой учебник лучше почитать по этой теме. Что-нибудь из численнго анализа?

(19 Окт '19 21:25) Lemke

@Lemke: посмотрите тему "метод простых итераций" в учебнике типа Бахвалова. Если нет желания очень сильно углубляться, то достаточно статьи о методе сжимающих отображений на уровне Википедии. Нужные для оценок формулы там есть.

@caterpillar: здесь интересно то, что для практических вычислений эти оценки вообще не нужны, а алгоритм вправе сам найти нужное число шагов по уже достигнутой разности между x(n) и x(n+1). Правда, в "отчёте", как это всегда бывает, мы часто предъявляем то, что для практики вообще не требуется. Здесь, правда, шагов мало, а в какой-то другой задаче их могло быть много.

(19 Окт '19 23:17) falcao
1

@Lemke, давая ответ, я ориентировался на метку "топология", поэтому рекомендовал бы любой известный учебник по функциональному анализу, например, Колмогорова и Фомина. Будь это численные методы, ход решения был бы другим: вместо вычисления теоретической оценки, мы бы рассматривали отклонения $%|x_{n+1}-x_n|$% и вычисляли бы до тех пор, пока это отклонение не станет меньше $%10^{-2}$%. Т.е. получается где-то три шага. Однако, теоретическая оценка тоже удобна для вычислений, поскольку проще реализовать вычисления при помощи цикла for, вместо цикла while. Расплата -- бОльшее число итераций.

(20 Окт '19 4:46) caterpillar
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×390

задан
19 Окт '19 19:11

показан
652 раза

обновлен
20 Окт '19 4:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru