$%(S,\S,\mu)$% - пространствос мерой, $%\{A_n\}_{n\geq 1}$% счетная последовательность элементов $%\S$%. Показать что всегда выполняется $$\mu(\underset{n}{liminf}A_n)\leq\underset{n}{liminf}\mu(A_n)$$

где $%\underset{n}{liminf}A_n:=\underset{n\geq1}\cup\underset{k\geq n}{\cap}A_k=\{x \in S: \exists n \geq 1, \forall k \geq n, x \in A_k\}$%,

задан 20 Окт '19 6:42

изменен 20 Окт '19 6:48

10|600 символов нужно символов осталось
2

Обозначим $%\underline{A}=\lim\inf A_n=\bigcup_\limits{n\geq1}\bigcap\limits_{k\geq n} A_k$%, $%B_n=\bigcap\limits_{k\geq n} A_k$%. Ясно, что $%B_n$% возрастает с ростом $%n$%, поэтому $%\exists\lim B_n=\bigcup_\limits{n\geq1}B_n=\underline{A}$%. Поскольку счётная аддитивность и непрерывность меры на $%\sigma$%-алгебре эквивалентны, то $%\mu(\underline{A})=\mu(\lim B_n)=\lim\mu(B_n)$%.

Далее, последовательность $%\{\mu(A_n)\}$% -- числовая и ограниченная (в силу существования у $%\sigma$%-алгебры единицы), поэтому существует конечный $%\underline{\lim}\mu(A_n)$%, причём это -- наименьший частичный предел последовательности $%\{\mu(A_n)\}$%. Поэтому найдётся подпоследовательность $%\mu(A_{n_j})\to\underline{\lim}\mu(A_n)$%. По построению $%A_{n_j}\supset B_{n_j}$%, поэтому $%\mu(\underline{A})=\lim\mu(B_n)=\lim\mu(B_{n_j})\leq\lim\mu(A_{n_j})=\underline{\lim}\mu(A_n)$%.

ссылка

отвечен 20 Окт '19 7:41

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,993
×690
×292

задан
20 Окт '19 6:42

показан
291 раз

обновлен
20 Окт '19 7:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru