Дана мера лебега $%\lambda_{d}$%, которая конечна и больше нуля для фиксированного $%A \in B(R^d)$%. Также дана мера такого вида: $%u_{A}(B) = \frac{ \lambda_{d}(A \cap B)}{ \lambda_{d}(A)}$%.

Надо найти $%\frac{du_{A}}{d\lambda_{d}}$%, т.е. плотность как тут

Не понимаю как вытащить $%f$% из под интеграла.

задан 21 Окт '19 4:24

изменен 21 Окт '19 12:59

@Квантиль: разве бывает мера, которая больше нудя для любого ограниченного множества A?

(21 Окт '19 9:40) falcao

@falcao, перепутал, извиняюсь. Имеется в виду $%\lambda_{d}(А)$% не равно нулю и конечно, где А фиксированно из борелевской сигмы алгебры. В мере $%u_{A}(B)$% - фиксированно тоже самое А. Также из предыдущих пунктов я доказал что обе меры $%\sigma$%-конечны, $%u_{A}(B)$% - мера и что $%u_{A}(B)$% << $%\lambda_{d}$%

(21 Окт '19 12:32) Квантиль

@Квантиль: пока непонятно, что Вы хотите найти, и зачем нужно второй раз делить на лямбда. Если речь о том, чему равна функция f из теоремы Радона -- Никодима, то это индикатор множества A, что проверяется напрямую.

(21 Окт '19 12:48) falcao

@falcao, да именно это и имеется в виду(поправил в условии). А то что это индикатор надо угадать и доказать или напрямую вывести?

(21 Окт '19 12:58) Квантиль

@Квантиль: маленькое уточнение -- там надо индикатор поделить на положительное число P(A). То, что в качестве f годится именно индикатор, легко угадывается. Грубо говоря, само понятие интеграла по мере даётся сначала для ступенчатых функций, поэтому с них и надо начинать. А если не подходит, то строить более сложные как пределы "элементарных"

Здесь описана всего лишь условная вероятность -- понятно, как она в целом устроена.

(21 Окт '19 15:28) falcao

@falcao, не подскажете а как "угадать" плотность, если одна мера $%\eta$% считающая

, а другая $%\nu$% дискретная

Обе меры на $%\mathbb{R}^d$%. Надо найти $% f = \frac{d\nu}{d\eta}$%

(22 Окт '19 21:06) Квантиль

@Квантиль: нужна точная постановка задачи. То есть обе меры на R^d должны быть точно описаны. Говорится, что nu -- дискретная мера, но мало ли таких мер можно задать? Что касается counting measure, то там вроде как на счётном множестве она задаётся.

(22 Окт '19 21:55) falcao

η - считающая мера, определяется так(https://i.imgur.com/rFah6eX.png). По такому определению ее можно задать где угодно ведь?

ν - дискретная, насколько я понимаю их сколько угодно можно задать, главное чтоб она принимала конечное число значений. Предполагается для любой дискретной меры найти $%f$%. Определяется как тут(https://i.imgur.com/PvnZ6V6.png).

(22 Окт '19 22:04) Квантиль
1

@Квантиль: если мера может принимать бесконечные значения, то это какая-то очень искусственная ситуация. Особенно странно это выглядит на R^d. Обычно ведь в изложении теоремы Радона - Никодима берётся пространство с положительной мерой. См., например, у Колмогорова и Фомина.

Так или иначе, если здесь дискретная мера задана на конечном множестве точек, и мера точки x(i) равна a(i), то и надо взять в качестве f функцию, которая при x(i) равна a(i), а при прочих x равна нулю. Получится нечто тавтологично-неинтересное.

(22 Окт '19 23:04) falcao

@falcao, Спасибо, а не подскажете что делать если надо доказать что плотности $%\frac{d \lambda_{d}}{d \nu}$% не существует? Мне кажется надо как-то поймать противоречие на том чтобы выбрать $%A \in \mathcal{B}( \mathbb{R}^d)$% такое что в выражении $%\lambda_{d}(A) = \int_{\mathbb{R}^d} {1}_A f \mathrm{d} \eta$% слева возникнет конечное число (мера лебега по А), а справа за счет считающей меры где-то появится бесконечность, но не могу что-то конкретное придумать(плюс справа появляется супремум по аппроксимирующим простым функциям, сложный объект)

(23 Окт '19 2:45) Квантиль

@Квантиль: если дискретная мера множества равна нулю, то мера Лебега может быть и ненулевой. Если бы плотность существовала, то имело бы место свойство абсолютной непрерывности одной меры (сверху) относительно другой (снизу).

(23 Окт '19 2:59) falcao

@Квантиль: почему она выполняется? Рассмотрим шар, в котором нет точек дискретного множества. Его мера Лебега положительна, а дискретная мера нулевая.

(23 Окт '19 9:27) falcao

@Квантиль: выше было наоборот -- nu была дискретной, eta считающей.

Интеграл по мере eta (я сохраняю старые обозначения) конечен тогда и только тогда, когда f равна 0 всюду кроме конечного, на худой конец счётного множества. Второе можно также рассматривать в случае (абсолютной) сходимости ряда. Пусть f(x)=y > 0. Рассмотрим малый интервал, содержащий x, имеет сколь угодно малую меру Лебега, но интеграл от f по такому интервалу уже не меньше y.

(23 Окт '19 16:13) falcao
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×243
×37

задан
21 Окт '19 4:24

показан
294 раза

обновлен
23 Окт '19 16:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru