тригонометрия - Вычислить сумму

Здесь можно комплексные числа использовать. Я для удобства буду писать $%\varphi$% вместо $%f$%. Число $%\cos(k\varphi)$% -- это действительная часть комплексного числа $%\cos(k\varphi)+i\sin(k\varphi)=\exp(ik\varphi)$%. Поэтому, в предположении вещественности $%a$% и $%\varphi$%, можно считать $%S$% действительной частью суммы $$\exp(i\varphi)+a\exp(2i\varphi)+\cdots+a^{n-1}\exp(ni\varphi),$$ а это есть не что иное как геометрическая прогрессия $%z+az^2+a^2z^3+\cdots+a^{n-1}z^n$%, где $%z=\exp(i\varphi)$%. Суммируя, получаем $$\frac{z(1-(az)^n)}{1-az},$$ и теперь надо подставить $%z=\cos\varphi+i\sin\varphi$%, с учётом того, что $%z^n=\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)$% ввиду формулы Муавра. Теперь надо привести число к алгебраической форме, а потом выделить действительную часть.

Вычисления я опускаю, а ответ, если не ошибаюсь, должен быть такой: $$S=\frac{a^{n+1}\cos(n\varphi)-a^n\cos((n+1)\varphi)-a+\cos\varphi}{1+a^2-2a\cos\varphi}.$$