Вычислите сумму: $$S=\cos(f)+a\cos(2f)+a^2\cos(3f)+...+a^{n-1}\cos(nf)$$

задан 2 Июн '13 12:21

изменен 2 Июн '13 23:58

Angry%20Bird's gravatar image


9125

@Dragon65, чтобы написать формулу, воспользуйтесь редактором формул LaTeX. Затем вставьте получившийся текст формулы и поставьте с обоих сторон символ $$. Например: $$a=b^2$$ выглядит так: $$a=b^2$$

(2 Июн '13 13:33) Angry Bird

Спасибо :)

(2 Июн '13 14:32) Dragon65
10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь можно комплексные числа использовать. Я для удобства буду писать $%\varphi$% вместо $%f$%. Число $%\cos(k\varphi)$% -- это действительная часть комплексного числа $%\cos(k\varphi)+i\sin(k\varphi)=\exp(ik\varphi)$%. Поэтому, в предположении вещественности $%a$% и $%\varphi$%, можно считать $%S$% действительной частью суммы $$\exp(i\varphi)+a\exp(2i\varphi)+\cdots+a^{n-1}\exp(ni\varphi),$$ а это есть не что иное как геометрическая прогрессия $%z+az^2+a^2z^3+\cdots+a^{n-1}z^n$%, где $%z=\exp(i\varphi)$%. Суммируя, получаем $$\frac{z(1-(az)^n)}{1-az},$$ и теперь надо подставить $%z=\cos\varphi+i\sin\varphi$%, с учётом того, что $%z^n=\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)$% ввиду формулы Муавра. Теперь надо привести число к алгебраической форме, а потом выделить действительную часть.

Вычисления я опускаю, а ответ, если не ошибаюсь, должен быть такой: $$S=\frac{a^{n+1}\cos(n\varphi)-a^n\cos((n+1)\varphi)-a+\cos\varphi}{1+a^2-2a\cos\varphi}.$$

ссылка

отвечен 2 Июн '13 13:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×770
×285
×61

задан
2 Июн '13 12:21

показан
748 раз

обновлен
2 Июн '13 14:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru