Пускай $%a=(a_1,a_2,…,a_n)$% - произвольный набор $%n>1$% положительных чисел. Для двух действительных переменных $%p>q$% средние Джини определяются так: $$Gi_{p,q}(a)=\sqrt[p-q]\frac{S_p(a)}{S_q(a)},\text{ где }S_x=\sum_{i=1}^na_i^x.$$ Известна теорема сравнения средних Джини: Пускай $%p\ge r$% та $%q\ge s$%. Тогда имеет место неравенство $$Gi_{p,q}(a)\ge Gi_{r,s}(a).$$ а) Доказать, что если для всех наборов $%a$% выполняется неравенство $$Gi_{p,q}(a)\ge Gi_{r,s}(a),$$ то $$p+q\ge r+s.$$ б) Показать, что условие $%p+q\ge r+s.$% является достаточным при таких ограничениях: $%n=2,p=q+1>1,s=0$%: $$Gi_{q+1,q}(a)\ge Gi_{r,0}(a)\text{ при }n=2,q>0\text{ и }2q+1\ge s,$$ т.е. для всех $%q>0$% и $%t>0$% $$2(t^{q+1}+1)^{2q+1}≥(t^q+1)^{2q+1}(t^{2q+1}+1).$$

задан 23 Окт '19 16:50

изменен 24 Окт '19 11:08

10|600 символов нужно символов осталось
1

а) Пускай $%n=2$%. Перепишем неравенство следующим образом образом: $$(t^p+1)^{r-s}(t^s+1)^{p-q}\ge(t^q+1)^{r-s}(t^r+1)^{p-q},\text{ где }t=a_1/a_2.$$ Исследуем в точке $%t=1$% функцию $$f(t)= (t^p+1)^{r-s}(t^s+1)^{p-q}-(t^q+1)^{r-s}(t^r+1)^{p-q}:$$ $%f(1)=0,$% $%f’(1)=0,$% $%f’’(1)=(p-q)(r-s)2^{p-q+r-s-2}(p+q-r-s).$% (WolframAlpha)

Если $%p+q< r+s,$% то $%f’’(1)<0,$% точка $%t=1$% - точка максимума и в некоторой окрестности точки $%t=1$% значение функции $%f(t)$% отрицательное. Поэтому $$p+q≥r+s.$$ б) I способ. Пускай $%f(t)=2(t^{q+1}+1)^{2q+1}-(t^q+1)^{2q+1}(t^{2q+1}+1)$%. Не ограничивая общности, $%a_1≤a_2,$% то есть достаточно доказать неравенство $%f(t)≥0$% на интервале $%(0;1)$%. Выражение для $%f'(t)$% достаточно громоздкое, поэтому будем исследовать функцию $%g(t)=\large\frac{2(t^{q+1}+1)^{2q+1}}{(t^q+1)^{2q+1}(t^{2q+1}+1)}-1$% на интервале $%(0;1)$%: $$g(0)=1,g(1)=0,$$ $$g' (t)=\frac{2(2q+1)t^{q-1}(t^{q+1}+1)^{2q}(qt^{2q+2}-(q+1)t^{2q+1}+(q+1)t-q)}{(t^q+1)^{2q+2} (t^{2q+1}+1)^2 }.$$ Рассмотрим функцию $%h(t)=qt^{2q+2}-(q+1)t^{2q+1}+(q+1)t-q.$% Поскольку $$h(0)=-q,h(1)=0,$$ $$h' (t)=q(2q+2)t^{2q+1}-(q+1)(2q+1)t^{2q}+q+1,$$ $$h' (0)=q+1,h' (1)=0,$$ $$h″ (t)=2q(q+1)(2q+1)(t^{2q}-t^{2q-1})≤0,$$ то последовательно получаем:$% h' (t)≥0,h(t)≤0,g' (t)≤0,$%, а потому $%g(t)≥0$% и $%f(t)≥0$% на интервале $%(0;1).$%

б) II способ (для натурального $%q$%). $$2Gi_{q+1,q}≥Gi_{q+1+k,q+k}+Gi_{q+1-k,q-k}⇔(t-1)(t^k-1)^2t^q(t^q-1)≥0,$$ $$Gi_{q+1,q}=\frac{\sum_{k=-q}^qGi_{q+1,q}}{2q+1}≥\frac{\sum_{k=1}^{2q+1}Gi_{k,k-1}}{2q+1}≥\sqrt[2q+1]{\prod_{k=1}^{2q+1}Gi_{k,k-1}}=Gi_{2q+1,0}.$$

ссылка

отвечен 26 Окт '19 23:11

изменен 10 Ноя '19 22:22

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×248

задан
23 Окт '19 16:50

показан
3532 раза

обновлен
10 Ноя '19 22:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru