Дана бесконечная арифметическая прогресия, первый член равен 2011, а разность равна 11. Каждый член прогрессии заменили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили также и действовали так до тех пор пока не получалась последовательностью однозначных чисел.

  1. найдите тысячное число получившейся последовательности.
  2. найдите сумму первой тысячи чисел получившейся последовательности.
  3. чему может равняться наименьшая сумма 1010 чисел, получившейся последовательности идущих подряд?

А напишите, пожалуйста, подробно. Хочу понять, как решать, а не просто списать. Большое спасибо.

задан 2 Июн '13 12:59

изменен 2 Июн '13 23:59

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
0

Если Вы хотите понять решение, то как раз лучше объяснить основную идею без лишних подробностей.

Здесь надо использовать тот факт, что у числа и у суммы его цифр остатки при делении на 9 одинаковы. Поэтому каждое число в итоге превратится в однозначное с тем же остатком при делении на 9, который был изначально. Когда к числу прибавляется 11, это означает увеличение остатка на 2 -- с учётом явления сброса остатка. У первого числа 2011 остаток равен 4, а дальше пойдут 6, 8, 1 (вместо 10 с учётом сброса), 3, 5, 7, 9 (здесь остаток равен нулю, но мы пишем 9, так как именно эта цифра возникает, когда число делится на 9), потом идёт 2, а далее снова возникает 4, и всё начинает периодически повторяться.

Для удобства выпишем цифры периода подряд: 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7, 9, 2. Их всего 9. Понятно тогда, что тысячное число равно первому, то есть 4. Сумма чисел первой тысячи находится так: среди 999 подряд идущих чисел имеется 111 повторений периода, а сумма чисел периода (от 1 до 9) равна 45. Значит, надо 11 умножить на 45 и прибавить последнее число под номером тысяча, равное 4.

Если дано 1010 чисел, то среди них есть 1008, состоящих из 112 периодов, где сумма постоянна и равна $%112\cdot45$%. Общая сумма, таким образом, зависит от суммы первых двух чисел, наименьшее значение которой равно 1+3 (это самая маленькая из следующих друг за другом чисел периода). Остаётся сложить одно с другим.

ссылка

отвечен 2 Июн '13 13:48

10|600 символов нужно символов осталось
0

alt text

ссылка

отвечен 2 Июн '13 15:02

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×286
×72

задан
2 Июн '13 12:59

показан
3240 раз

обновлен
2 Июн '13 15:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru