планиметрия - Задание C4: найти расстояние от точки до прямой

Задача имеет некоторое сходство с этой, но всё-таки не полностью аналогична, как мне поначалу показалось. Здесь есть своя специфика, поэтому имеет смысл разобрать решение. Одна вещь тут проще, чем в той задаче, а другая чуть посложнее.

Прежде всего, сравним расстояния от точки $%P$% до прямых $%AC$% и $%BC$%. Это не что иное как высоты треугольников равной площади, основания которых равны $%15$% и $%20$%. Значит, высота первого треугольника больше в $%20:15=4:3$% раза, и удобно обозначить эти высоты как $%4t$% и $%3t$%. Можно считать, что это координаты точки в соответствующей системе координат (ср. аналогичную задачу), с учётом того, что знаки у абсциссы и ординаты могут меняться на противоположные. Так или иначе, точка $%P$% с координатами $%(\pm4t,\pm3t)$% лежит на окружности радиусом $%20$%, откуда $%(4t)^2+(3t^2)=20^2$%. Отсюда ясно, что $%t=\pm4$%. Значит, точка $%P$% имеет координаты $%(\pm16,\pm12)$% -- всего имеется четыре варианта. Теперь нужно найти расстояния от каждой из этих точек до прямой $%AB$%.

Если бы прямая была параллельна одной из осей координат, то расстояние было бы можно найти сразу, а здесь надо прибегнуть к небольшому вычислению. Здесь надо четыре раза делать одно и то же, поэтому проще всего воспользоваться готовой формулой, хотя это и не обязательно. Она не очень сложно выводится (если надо, я могу приложить вывод). Формула такова: если имеется точка с координатами $%(a,b)$% и прямая, заданная уравнением $%y=kx$%, то расстояние от точки до прямой равно $$d=\frac{|ka-b|}{\sqrt{1+k^2}}.$$ Нам удобно будет перенести начало координат из вершины прямого угла в точку $%B$%, и это будет означать, что к абсциссе точки $%P$% прибавили $%20$%. Таким образом, точка $%(a,b)$% у нас имеет координаты $%(36;\pm12)$% или $%(4;\pm12)$%. Прямая $%AB$%, до которой мы находим расстояние, имеет уравнение $%y=kx$% при $%k=3/4$%. Тогда подстановка в готовую формулу даёт следующие расстояния: $%12$%, $%156/5$% для первой серии точек и $%36/5$%, $%12$% для второй серии. Число $%156/5$% отбрасываем, так как оно больше $%25$%. В итоге имеем два возможных значения: $%12$% и $%36/5$% в качестве ответа.

Координатным методом можно решать очень многие задачи. Он связан с вычислениями, то зато здесь почти не надо ни до чего догадываться, и всё делается автоматически.