С4. Как решать? Решение, данное здесь в одной из задач, не подходит.

На окружности радиуса $%20$% с центром в вершине $%C$% треугольника $%ABC$% взята точка $%P$%. Известно, что $%AB=25, AC=15, BC=20$%, а треугольники $%APC$% и $%BPC$% равновелики. Найдите расстояние от точки $%P$% до прямой $%AB$%, если известно, что оно меньше $%25$%.

задан 2 Июн '13 13:13

изменен 3 Июн '13 0:01

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
1

Задача имеет некоторое сходство с этой, но всё-таки не полностью аналогична, как мне поначалу показалось. Здесь есть своя специфика, поэтому имеет смысл разобрать решение. Одна вещь тут проще, чем в той задаче, а другая чуть посложнее.

Прежде всего, сравним расстояния от точки $%P$% до прямых $%AC$% и $%BC$%. Это не что иное как высоты треугольников равной площади, основания которых равны $%15$% и $%20$%. Значит, высота первого треугольника больше в $%20:15=4:3$% раза, и удобно обозначить эти высоты как $%4t$% и $%3t$%. Можно считать, что это координаты точки в соответствующей системе координат (ср. аналогичную задачу), с учётом того, что знаки у абсциссы и ординаты могут меняться на противоположные. Так или иначе, точка $%P$% с координатами $%(\pm4t,\pm3t)$% лежит на окружности радиусом $%20$%, откуда $%(4t)^2+(3t^2)=20^2$%. Отсюда ясно, что $%t=\pm4$%. Значит, точка $%P$% имеет координаты $%(\pm16,\pm12)$% -- всего имеется четыре варианта. Теперь нужно найти расстояния от каждой из этих точек до прямой $%AB$%.

Если бы прямая была параллельна одной из осей координат, то расстояние было бы можно найти сразу, а здесь надо прибегнуть к небольшому вычислению. Здесь надо четыре раза делать одно и то же, поэтому проще всего воспользоваться готовой формулой, хотя это и не обязательно. Она не очень сложно выводится (если надо, я могу приложить вывод). Формула такова: если имеется точка с координатами $%(a,b)$% и прямая, заданная уравнением $%y=kx$%, то расстояние от точки до прямой равно $$d=\frac{|ka-b|}{\sqrt{1+k^2}}.$$ Нам удобно будет перенести начало координат из вершины прямого угла в точку $%B$%, и это будет означать, что к абсциссе точки $%P$% прибавили $%20$%. Таким образом, точка $%(a,b)$% у нас имеет координаты $%(36;\pm12)$% или $%(4;\pm12)$%. Прямая $%AB$%, до которой мы находим расстояние, имеет уравнение $%y=kx$% при $%k=3/4$%. Тогда подстановка в готовую формулу даёт следующие расстояния: $%12$%, $%156/5$% для первой серии точек и $%36/5$%, $%12$% для второй серии. Число $%156/5$% отбрасываем, так как оно больше $%25$%. В итоге имеем два возможных значения: $%12$% и $%36/5$% в качестве ответа.

Координатным методом можно решать очень многие задачи. Он связан с вычислениями, то зато здесь почти не надо ни до чего догадываться, и всё делается автоматически.

ссылка

отвечен 2 Июн '13 13:17

изменен 2 Июн '13 22:24

решил, в том было расстояние до bc, а здесь до ab. Аналогично не выходит.

(2 Июн '13 13:54) Алекс Воленин
10|600 символов нужно символов осталось
0

скажите, зачем переносить центр в точку В. Я просто решаю аналогичную задачу, только радиус 15. Там точка В вышла за пределы окружности. и теперь и не переносила центр, у меня с ответом не сходится на окружности радиуса 15 с центром в вершине С треугольника АВС взята точка Р. известно АВ=25, АС=15, ВС=20, а треугольники АРС и ВРС равновелики. Найти расстояние от точки Р до прямой АВ, если известно, что оно меньше 20. Так я взяла за начало координат точку С - она вершина прямого угла.точка А лежит на окружности, точка В вышла за пределы круга. Расстояние от точки Р до прямых АС и ВС есть две высоты (по вашему решению).РК перендикулярно СВ, РМ - АС. РК:РМ=4:3. Р имеет координаты (+-4t;=+-3t).потом когда я нашла по формуле расстояния d, у меня вышли 2 серии точек: (12/5;+-9/5)(-12/5;+-9/5). Расстояния вышли 3 и 0,84. у меня с ответом не сходится. Там получилось 12 и 2,4. НУ В ОБЩЕМ Я ПОДСТАВЛЯЛА В ВАШУ ФОРМУЛУ, ЧТОБЫ ЛЕГЧЕ СЧИТАТЬ БЫЛО И ПОНЯТЬ ВАШЕ РЕШЕНИЕ

ссылка

отвечен 11 Фев '14 23:56

изменен 23 Фев '14 21:58

@Lena_8_07: решать задачи координатным методом можно по-разному. Начало координат можно связывать с любой точкой из соображений удобства. В данном случае имело смысл рассмотреть такую систему, в которой прямая проходит через начало координат, чтобы проще было находить расстояние.

Если Вы покажете своё решение (только надо при этом точно сформулировать условие), то я, возможно, что-то смогу по этому поводу подсказать.

(12 Фев '14 0:12) falcao

@Lena_8_07: а в какую формулу Вы подставляли найденные координаты? Дело в том, что указанная у меня формула позволяет найти расстояние от точки до прямой, проходящей через начало координат. Если у Вас система координат другая, то прямая AB через начало координат не проходит, и этой формулой пользоваться уже нельзя. Надо или менять систему координат, или применять другую, более общую формулу (её вид можно найти через поиск по словам "расстояние от точки до прямой").

(21 Фев '14 18:24) falcao

@Lena_8_07: я написал выше, что приведённая мной формула рассчитана на случай, когда прямая, до которой мы находим расстояние, проходит через начало координат. Вы выбрали начало координат в точке C, а прямая AB через неё не проходит. Поэтому этой формулой для Вашего случая пользоваться нельзя. Перечитайте ещё раз то, что я написал в конце предыдущего комментария.

(23 Фев '14 22:31) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×544
×273

задан
2 Июн '13 13:13

показан
4936 раз

обновлен
23 Фев '14 22:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru