Задача состоит в том, чтобы рассчитать площадь фигур, ограниченных кривыми

$$x^2+y^2=2ax^3$$

Я попробовал начать с полярных : $$x = rcos\varphi\\ y = rsin\varphi$$

Нашёл (r):

$$r = \frac{1}{2acos^3\varphi}$$

Вроде понятно, что $$0<=\varphi<=2\pi$$

Но, что делать с (r)?

Могу ли я посчитать площадь через эту формулу ?

$$S = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\frac{r^2}{2}d\varphi$$

Или нужно будет делать что-то такое ?

$$\int_0^{2\pi} d\varphi\int_0^1 \frac{1}{2acos^3\varphi}rdr$$

Ответ на задачу: $$\frac{5\pi a^2}{8}$$

задан 25 Окт '19 12:52

изменен 25 Окт '19 12:53

r меняется от нуля, до вот этого самого, что Вы получили. А вот угол меняется в таких пределах, при которых r будет положительно, т.е. надо неравенство r>=0 решать, чтобы найти пределы изменения угла. Ещё, что известно про параметр a? Может, он считается положительным?

(25 Окт '19 14:25) caterpillar

Надо ещё заметить, что площадь выражения -- это нонсенс. Ясно, что находим мы площадь фигуры, которая ограничена кривой, а вот уже кривая задаётся уравнением, которая являет собой равенство двух выражений.

"А это пшеница, которая в тёмном чулане хранится, в доме, который построил Джек" (с) :)

(25 Окт '19 14:29) falcao

Прошу прощение a>0

(25 Окт '19 14:40) Flur

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\varphi\int_0^{\frac{1}{2acos^3\varphi}} rdr$$ ???

(25 Окт '19 14:41) Flur

@falcao, "площадь выражения" -- это главное, что заставило меня зайти и прочитать этот вопрос, обычно я геометрию пропускаю, поскольку не имею возможностей красивые картинки рисовать)

@Flur, я вот тут в вольфраме построил кривую и чего-то она не ограничивает никакую площадь. Вы уверены, что с заданием всё в порядке?

(25 Окт '19 14:48) caterpillar

У меня есть подозрение на то, что в искомом выражении пропущен квадрат : $$(x^2+y^2)^2=2ax^3$$

(25 Окт '19 15:03) Flur
1

Тогда получается красиво )

(25 Окт '19 15:03) Flur
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,407
×25

задан
25 Окт '19 12:52

показан
259 раз

обновлен
25 Окт '19 15:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru