Проверьте по определению ( прообраз открытого открыт) непрерывность функции f:R^2->R ; f(x,y)=x+y

задан 25 Окт '19 15:42

10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим открытое множество U на прямой. Его прообраз f^{-1}(U) состоит из всех пар (x,y), для которых x+y принадлежит U. Проверим, что он открыт. Для этого берём точку (x0,y0) из прообраза и проверяем, что её можно окружить некоторой окрестностью в пределах прообраза.

Мы знаем, что f(x0,y0)=x0+y0 принадлежит U. Тогда, поскольку U открыто, точку x0+y0 числовой прямой можно окружить eps-окрестностью в пределах U, то есть интервал (x0+y0-eps,x0+y0+eps) содержится в U.

Теперь рассмотрим такую окрестность точки (x0,y0) на плоскости, для точек (x,y) которой выполнены неравенства |x-x0| < eps/2, |y-y0| < eps/2. Это маленький (открытый) квадратик с центром (x0,y0), стороны которого параллельны осям и имеют длину eps. Проверим, что все его точки под действием f переходят в U: это будет означать, что он содержится в прообразе U.

По условию, x0-eps/2 < x < x0+eps/2, y0-eps/2 < y < y0+eps/2. Сложим почленно эти два неравенства, получая x0+y0-eps < x+y < x0+y0+eps. Отсюда следует, что x+y принадлежит интервалу, про который мы уже знаем, что он содержится в U, ч.т.д.

ссылка

отвечен 25 Окт '19 16:17

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×390

задан
25 Окт '19 15:42

показан
210 раз

обновлен
25 Окт '19 16:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru