Подскажите, пожалуйста, как решить систему уравнений: $% \begin{cases} x_2=\frac{1}{x_1+1} \\ x_3=\frac{1}{x_2+1} \\ x_4=\frac{1}{x_3+1} \\ ......... \\ x_{2020}=\frac{1}{x_{2019}+1} \\ x_1=\frac{1}{x_{2020}+1} \\ \end{cases} $%

задан 26 Окт '19 9:21

1

Наверное, $%x_i=\frac{ -1 \pm \sqrt{5} }{ 2 }$%.

(26 Окт '19 10:27) FEBUS
1

Уравнение $%f(f(f...f(x)..) = x $% ,где $%f(x) = 1/(x+1)$% равносильно $%f(x) = x$%

(26 Окт '19 10:31) potter

@potter, а почему так? Пока все равно непонятно, как решать...

(11 Ноя '19 15:51) Eran
10|600 символов нужно символов осталось
2

Возможно есть более умное объяснение, но по мотивам выше написанного мне пришло в голову только такое...

Берём первое уравнение $%x_2=\dfrac{1}{x_1+1}$% и подставляем во второе уравнение, откуда получаем $%x_3=\dfrac{x_1+1}{x_1+2}$% ...

Полученное подставляем в третье уравнение и получаем $%x_4=\dfrac{x_1+2}{2x_1+3}$% ... и так далее...

...

Замечаем, что на любом шаге получается дробь вида $%x_m=\dfrac{F_{m-2}\cdot x_1+F_{m-1}}{F_{m-1}\cdot x_1+F_m}$%, где $%F_m$% - числа Фибоначчи...

Таким образом, из последнего уравнения получим $$ x_1=\dfrac{F_{n-2}\cdot x_1+F_{n-1}}{F_{n-1}\cdot x_1+F_n} $$ Дальше избавляемся от знаменателя... переносим всё в одну сторону... и пользуясь определением чисел Фибоначчи, получаем, что $$ x_1^2+x_1-1=0 $$ Затем остаётся явно показать, что $%x_2=x_1$%, что по аналогии даст равенство для остальных неизвестных...

ссылка

отвечен 11 Ноя '19 20:11

1

@all_exist: так решать, конечно, можно, но я думаю, что проще по-другому. Для функции f(x)=1/(x+1) находим неподвижные точки. Они подходят. Теперь разбиваем прямую на интервалы тремя точками, включая x=-1. На каждом интервале функция монотонна, а интервал относительно неё инвариантен. На двух интервалах будет f(x) > x, а на двух других f(x) < x. Это значит, что если мы возьмём точку на интервале и начнём применять f, то всегда там же и останемся, а за счёт монотонности никогда не придём в исходную точку.

(12 Ноя '19 1:09) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×334

задан
26 Окт '19 9:21

показан
300 раз

обновлен
12 Ноя '19 1:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru