найти образ окружности $$|z−i|=1$$ при отображении $$w(z)= \frac{1}{z-2i}$$

Решение:

$$wz-2wi=1, wz=1+2wi$$, получаем $$|1+wi|^2=|w|^2$$, $$(1+wi)\overline{(1+wi)}=|w|^2$$

$$1-\bar{w}i+wi-w\overline{w}+ |w|^2 = 0 $$, $$(\overline{w} - w)i = 1$$ и получается прмямая $$Re\, w = -\frac{1}{2}$$, Что неправильно, т.к при 0 получается $$-\frac{1}{2i}$$

помогите пожалуйста найти ошибку

задан 26 Окт '19 15:23

изменен 26 Окт '19 15:25

При дробно-линейном отображении окружность переходит в окружность или прямую. В данном случае особая точка 2i принадлежит исходной окружности, поэтому образом будет прямая. Прямую можно построить по двум точкам, например, точка 0 на окружности переходит в точку i/2 на прямой. Осталось взять ещё одну точку, например, 1+i. Она перейдёт в (1+i)/2. В итоге получим прямую Im w=1/2.

(26 Окт '19 15:33) caterpillar

@caterpillar: спасибо за ответ, т.е такой метод здесь не подходит, а нужно брать 3 точки и смотреть куда они перейдут?

(26 Окт '19 15:37) Lemke

Я изложил наиболее простое рассуждение. Ваш метод с подстановками, безусловно, тоже проходит, если делать всё аккуратно. Но, как видите, это может привести к ошибкам. Вообще же, подстановками такие задачи с дробно-линейными отображениями окружностей или прямых не решаются. Надо пользоваться свойствами. Например, тут есть ещё пара способов, с использованием симметричных точек или сохранения углов. Трёх точек брать, кстати, не нужно, т.к. заранее известно, что получается прямая.

(26 Окт '19 15:40) caterpillar

не могли бы вы дать ссылку на книгу, где можно об этом подробнее прочесть

(26 Окт '19 15:43) Lemke
1

@Lemke, любой учебник по ТФКП. Самый лучший, на мой взгляд -- Сидорова, Федорюка и Шабунина.

Кстати, почему у Вас окончательный ответ получился такой? Там же на самом деле Im w = 1/2, а не Re w = - 1/2. Ошиблись только при выводе окончательного ответа.

(26 Окт '19 15:46) caterpillar

да, спасибо, за совет, получается Im w = плюс 1/2

(26 Окт '19 15:50) Lemke

@Lemke: я несколько поздно присоединился к обсуждению, но у меня мысли были ровно те же. У Вас всё верно почти до самого конца -- просто в разности w-bar(w) сокращаются действительные части и получается условие на мнимую. Но вообще-то прямой способ не всегда удобен -- быстрее это делать по точкам, учитывая теорию. Ещё есть метод записать z в виде a+bi и подставить, или здесь можно брать z=i+e^{it}. Для данной конкретной задачи то и другое годится (я проверял), но в общем случае это может завести в "дебри".

(26 Окт '19 20:58) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×410

задан
26 Окт '19 15:23

показан
581 раз

обновлен
26 Окт '19 20:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru