Всем добрый вечер! Вопрос не по чистмату, конечно, но к математике отношение имеет. Надеюсь на какую-то Вашу активность. Спасибо!
При каких значениях параметра t метод решения Ax=b заданный как x(m+1)=(E-tA)x(m)+tb сходится при произвольном начальном приближении x(0) в случаях, когда все собственные числа матрицы A меньше нуля, больше нуля, и когда некоторая их часть больше, а некоторая - меньше?

Если честно, вообще не ясно, как учитывать последнее условие, если исходить только из критериев сходимости, где фигурирует только норма матрицы перехода, то есть матрицы E-tA, либо её собственные числа. То есть ясно, когда наша матрица A положительно определена, а вот как действовать в остальных случаях - нет.

задан 26 Окт '19 22:51

изменен 26 Окт '19 23:10

10|600 символов нужно символов осталось
1

Первое, что приходит в голову, рассмотреть разности $$ x_{m+1}-x_m = (E-tA)(x_m-x_{m-1}) = \ldots= (E-tA)^m(x_1-x_0) $$

Для сходимости к нулю левой части (то есть существования предела последовательных приближений) нужно, чтобы норма матрицы $%(E-tA)$% была меньше единицы...

Или, учитывая как возводится матрица в степень, собственные числа матрицы $%(E-tA)$% по модулю должны быть меньше единицы...

Ну, как-то так...

ссылка

отвечен 27 Окт '19 0:32

@all_exist, да, спасибо, я про этот критерий и говорил.
Это верный критерий. Но как из собственных чисел матрицы A прийти к условию на собственные числа матрицы E-tA - я этого не понимаю?
В случае, когда оба больше нуля, всё ясно: t <= 2/l_max - максимальное собственное значение.
А вот для остальных случаев такое не работает и не понятно, что вообще делать.

(27 Окт '19 11:18) vywe

во всех случаях должно быть двойное неравенство, которое получается раскрытием модуля в неравенстве $%|1-\lambda t| < 1$%...

(27 Окт '19 11:44) all_exist

@all_exist, прошу прощения за тупой вопрос: если у матрцы А собств. число, допустим, l, то понятно, что у матрицы tA собств. число будет tl, что следует из диагонального вида матрицы в базисе из собственн. векторов. А для разности E-tA? В том же базисе из собственн. векторов матрица E уже не будет единичной, то есть и собственные значения будут не 1-tl... В чем я не прав?

(27 Окт '19 12:13) vywe

@vywe, собственные значения будут не 1-tl - не понял, почему?...

Если привести матрицу $%A$% к жордановой форме, то у матрицы $%E-tA$% по диагонали будут стоять числа $%1-t\lambda$%... то есть это и есть собственные числа новой матрицы... а базис из собственных векторов при этом не изменится...

(27 Окт '19 16:18) all_exist

@all_exist, спасибо большое.
Теперь последнее: верно ли понимаю, что учитывая что Ваше вышенаписаное условие модулем должно выполняться для любого собств. значения? Тогда в случае, когда мы имеем среди собственных чисел матрицы A и меньшие нуля, и большие нуля, то неравенство не выполняется ни при каких t?

(27 Окт '19 17:13) vywe

Вроде так...

(27 Окт '19 17:22) all_exist
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×270
×120
×35

задан
26 Окт '19 22:51

показан
224 раза

обновлен
27 Окт '19 17:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru