0
1

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их всевозможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2,3,5, то на доске будет выписан набор 2,3,5,5,7,8,10

а) На доске выписан набор -13, -8, -6, -5, -1, 2,7. Какие числа были задуманы?

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 7 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

задан 2 Июн '13 13:32

изменен 3 Июн '13 14:08

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

а) Если чисел выписано 7, то их было задумано 3. Их не могло быть меньше (у двух чисел сумм выписывается всего 3), и не могло быть больше (у четырёх чисел сумм будет 15). Нуля в наборе нет, а есть положительные и отрицательные числа. Какое-то встречается один раз, а какое-то два. Если отрицательное число одно, то положительных два, но тогда из них формируются три положительные суммы. Значит, было два отрицательных числа и одно положительное число, равное 7. Из отрицательных чисел может быть сформировано -5, чтобы в сумме с 7 получалось 2. Сумма же отрицательных чисел равна -13. Значит, это числа -8 и -5. А весь набор задуманных чисел был такой: -8, -5, 7. Легко видеть, что этот вариант подходит.

б) Пример с пятью числами: -2,-1,0,1,2. Легко проверяется, что выписано будет 31 число, где $%\pm3$% появляется 2 раза, $%\pm2$% -- 4 раза, $%\pm1$% -- 6 раз, и $%0$% появится ровно 7 раз. Четырёх различных чисел недостаточно. Это легко проверяется, так как 0 сам по себе встречается не более одного раза, среди пар он встречается не более двух раз (пары с одинаковой суммой не пересекаются), среди троек не более одного раза (все их суммы различны), и как сумма всех чисел тоже не более одного раза -- итого получается меньше семи.

в) Нет, не всегда. Пусть задуманы числа 1, 2, -3. Из них формируется набор чисел от -3 до 3 (без повторений). Ясно, что если у всех задуманных чисел сменить знак, то получится то же самое, поэтому задуманы могли быть и числа -1, -2, 3.

ссылка

отвечен 2 Июн '13 15:18

как можно проверить под пунктом б что будет 31 число, ведь выписывая все варианты вручную можно запутаться?

(2 Июн '13 16:29) STUDENT

@STUDENT: Нет, здесь всё просто ввиду имеющейся симметрии. Я это вручную считал. Но перебирать все варианты не надо. Сами числа выписываем, суммы пар тоже выписываем. Это легко. Далее тройки уже не перебираем, так как сумма всех чисел равна нулю, и поэтому добавляем значения сумм пар, но с противоположным знаком. То же касается сумм чётвёрок. Если Вы это проделаете, то увидите, что это ручной счёт.

(2 Июн '13 16:37) falcao

а почему не может быть одинаковых чисел в изначальной последовательности?

(2 Июн '13 18:26) ahor

Одинаковые числа могут быть в общем случае, но в пункте б) рассматриваются только различные -- см. условие.

(2 Июн '13 19:05) falcao

где в условии написано,что все числа должны быть различные?

(2 Июн '13 20:03) ahor
10|600 символов нужно символов осталось
0

Я разобрался с этим примером. А вот если нужно, чтобы 0 встречался ровно 2, 4, 5, 6, 9 раз? Поначалу думал, что 2 раза может получиться из 3-х чисел [-1;0;1], но получается 3 нуля в наборе: -1+1 = 0, -1+0+1 = 0, сам первоначальный нуль. Когда пытался подобрать 4 раза, то рассматривал 4 числа, [-2;-1;1;2], но получается также 3 нуля, подбирал другие комбинации, но все безуспешно. Надеюсь на помощь.

ссылка

отвечен 2 Июн '13 19:14

Число 0 может появиться два раза: для набора 1, 1, -1. Общая задача может быть довольно сложной.

(2 Июн '13 19:20) falcao

Числа могут повторяться?

(2 Июн '13 19:24) Birdnfs

В общем случае числа повторяться могут. Но если рассматривать попарно различные, то 0 может встретиться ровно 2 раза для четырёх чисел: 1, 2, 3, -3. Для трёх чисел можно показать, что так не бывает, если нет совпадающих.

(2 Июн '13 19:46) falcao

а что скажете про 4,5,6,9 раз?

(2 Июн '13 20:09) Birdnfs
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×291
×286

задан
2 Июн '13 13:32

показан
16252 раза

обновлен
3 Июн '13 7:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru