Задание:

Применяя формулу Грина вычислить:

$$\int_L 2(x^2+y^2)dx + (x+y)^2 dy$$,

где L - контур треугольника ABC, пробегаемый в положительном направлении, и A(1,1),B(2,2),C(1,3).Полученный результат проверить непосредственным вычислением криволинейного интеграла.

Написано решить по формуле Грина.

(Собственно она):

$$\oint_{\partial D} Pdx+Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy$$

Тогда в нашём примере: $$P = 2x^2+2y^2$$ $$Q = (x+y)^2$$ Находим частные производные: $$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x+2y$$ $$\frac{\partial P}{\partial y} = 4y$$ Далее разность: $$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x+2y-4y = 2x-2y$$ Приходим к выводу, что наш двойной интеграл будет выглядеть следующим образом: $$\iint_{ABC} (2x-2y)dxdy = \int_1^2 dx \int_1^3 (2x-2y)dy$$ Решив это я получаю ответ : $$-2$$ Но в учебнике: $$-\frac{4}{3}$$ Прошу помочь разобраться

задан 27 Окт '19 8:46

1

Не будет наш двойной интеграл так выглядеть. То, что у Вас написано -- это интеграл по прямоугольнику [1,2]Х[1,3], а должен быть треугольник. Параметризуйте треугольник правильно (желательно нарисовать его).

(27 Окт '19 8:53) caterpillar

Если я правильно понял, то :

$$AB(y = x )$$ $$BC (y = -x+4)$$ ?

(27 Окт '19 10:06) Flur

Правильно. В таких пределах изменяется y. Ну а как меняется x должно быть очевидно.

(27 Окт '19 10:10) caterpillar

Спасибо большое, теперь всё понятно

(27 Окт '19 10:13) Flur
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,407
×16

задан
27 Окт '19 8:46

показан
281 раз

обновлен
27 Окт '19 10:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru