$%f(f(x) + 2y) = 6x + f(f(y) - x)$% Для всех $%х, y\in\mathbb{R}$%;

$%f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$%

задан 27 Окт '19 12:19

изменен 27 Окт '19 12:35

%D0%9A%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0's gravatar image


7.6k213

f(x) = 2x+c

(27 Окт '19 20:47) potter
10|600 символов нужно символов осталось
0

Подставим $%y = 0$% : $% f(f(x)) = 6x + f(f(0) - x)$%

Предположим ,что $%f(a) = f(b)$%,для некоторых $%a$% и $%b$% ,тогда:

$%f(f(a)) = 6a + f(f(0) - a) $% и $% f(f(b)) = 6b + f(f(0) - b)$%

Следовательно $% 6a + f(f(0) - a) = 6b + f(f(0) - b)$% , откуда следует,что $%a = b$%,т.е. функция инъективна.

$%x = 0 : f(f(0) + 2y) = f(f(y))$% , поэтому $%f(y) = 2y + f(0)$%. Осталось подставить в исходное уравнение и проверить.

ссылка

отвечен 27 Окт '19 22:46

изменен 27 Окт '19 22:47

1

@potter: Почему $%a=b$%?

(27 Окт '19 23:09) EdwardTurJ
1

@potter: если бы удалось доказать инъективность, то всё было бы в порядке. Но как из условия 6a+f(f(0)-a)=6b+f(f(0)-b) Вы выводите a=b? Про вторые слагаемые равенства нам не известно ровным счётом ничего.

(28 Окт '19 1:45) falcao
2

@potter: Сюръективность получаем, если положим в исходное уравнение $%y=-f(x)/2$%.

Предположим ,что $%f(a)=f(b)$% для некоторых $%a$% и $%b$%, тогда найдётся такое $%c$%, что $%a+b=f(c)$%

Положим в исходное уравнение $%x=a,y=c$% и $%x=b,y=c:$% $$f(f(a)+2c)=6a+f(b),$$ $$f(f(b)+2c)=6a+f(a).$$ Отсюда следует инъективность.

(28 Окт '19 15:15) EdwardTurJ
1

@EdwardTurJ Ошибку понял,спасибо.

(28 Окт '19 15:23) potter
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×158
×2

задан
27 Окт '19 12:19

показан
205 раз

обновлен
28 Окт '19 15:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru