$$f(x) = \begin{cases} \tan{x}, &\text{если} \ x - \text{рациональное число}, \\ -\sqrt{3}, &\text{если} \ x - \text{иррациональное число}. \end{cases} $$ Я думаю, можно провести аналогию с функцией Дирихле, но не очень понятно, как сделать это строго. Надо как-то проверить точки, в которых тангенс совпадает с $%-\sqrt{3}$%, а в остальных точках функция разрывна. Помогите пожалуйста.

задан 27 Окт '19 21:01

изменен 28 Окт '19 0:13

10|600 символов нужно символов осталось
0

Если значение f(x) в точке x не равно -sqrt(3), то в этой точке функция разрывна, так как иррациональные числа на прямой расположены всюду плотно. Обратно, пусть tg x=-sqrt(3), то есть x имеет вид -п/3+пk, где k целое. В такой точке f непрерывна. Действительно, для любого eps > 0 существует delta > 0 такое, что из |x-y| < delta следует |tg x-tg y| < eps.

Если y рационально, то f(x)=f(y)=-sqrt(3), и модуль разности равен нулю. Если иррационально, то получаем модуль разности тангенсов, а он меньше eps.

ссылка

отвечен 27 Окт '19 21:11

Получается, если $%f(x) \ne -\sqrt{3}$%, то будет точка разрыва 2ого рода?

(27 Окт '19 21:22) woodkeeper

@woodkeeper: да, тут нет односторонних пределов, то есть это точки разрыва второго рода.

(27 Окт '19 22:18) falcao

@falcao, спасибо за ответ.

(28 Окт '19 0:11) woodkeeper
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,468
×627
×121
×8

задан
27 Окт '19 21:01

показан
126 раз

обновлен
28 Окт '19 0:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru