1
1

Докажите, используя только школьные сведения, что любое рациональное число из (0,1) представимо в виде конечной суммы $%\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1a_2}+...+\frac{1}{a_1a_2...a_n}$% где $%2\le a_1\le a_2 \le ... \le a_n$% - натуральные числа.

задан 28 Окт '19 1:24

2

Пускай $%\large\frac kl$% - несократимая правильная дробь. Разделим знаменатель на числитель: $%l=kq+r,$% где $%0< r< k.$% Тогда $$\frac kl=\frac{(q+1)k}{(q+1)l}=\frac{l+k-r}{(q+1)l}=\frac1{q+1}+\frac{k-r}{(q+1)l}.$$ Продолжая этот процесс, получим требуемое представление.

(28 Окт '19 18:38) EdwardTurJ

Это решение другой задачи. Таким образом правильная дробь раскладывается в сумму египетских, с немного другими условиями на их знаменатели. В самом деле, по предложенным рассуждениям получаем представление $% \frac{5}{6}=\frac{1}{2}+\frac{5-1}{(1+1)6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$% А в исходной задаче требуется получить разложение $%\frac{5}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot2}+\frac{1}{2\cdot2\cdot3}$%

(28 Окт '19 23:50) abc
1

@abc: Исправил. Если записать так: $$\frac kl=\frac{(q+1)k}{(q+1)l}=\frac{l+k-r}{(q+1)l}=\frac1{q+1}+\frac{k-r}{(q+1)l}=\frac1{q+1}\left(1+\frac{k-r}l\right),$$ то продолжая этот процесс, получаем нужное представление.

(29 Окт '19 0:39) EdwardTurJ
1

Похоже на правду и вроде очень прозрачное решение! В книжке все сложнее! Хотя смысл там наверное тот же, они тоже выносят 1/(q+1) только не говорят про целые части при этом и используют кучу неравенств на дробь в скобках.

Замечательно еще что это решение(с незначительными модификациями) подходит сразу к двум задачам.

(29 Окт '19 1:04) abc

@EdwardTurJ: а я Ваше первое решение именно так сразу и понял в плане вынесения дроби и сведЕния к той же задаче для k-r в числителе.

(29 Окт '19 1:23) falcao

@falcao: Я это и имел в ввиду, но последняя запись понятнее.

(29 Окт '19 1:33) EdwardTurJ
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×957

задан
28 Окт '19 1:24

показан
260 раз

обновлен
29 Окт '19 1:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru