alt text

.

задан 28 Окт 2:39

изменен 28 Окт 14:31

такое ощущение, что надо группировать сумму двух неотрицательно определённых квадратичных форм, пересечение которых даст эллипс...

(28 Окт 15:26) all_exist

@all_exist, не понимаю почему? Разве вся ф-ия не f(x,y,z)-1=0 не должна быть эллипсом? И насколько я понял мы стремимся чтобы это было эллипсом потому что окружность по норме это замкнутая поверхность, а единственная замкнутая поверхность второго порядка это эллипс. Я прав? Но это же необходимое требование, нужны же еще достаточные

(28 Окт 20:03) Квантиль

@Квантиль, честно признаться, меня смутило слово "окружность", которая обычно является плоской фигурой... мне привычнее говорить про "$%n$%-мерный шар" и "$%n$%-мерную сферу"...

Но если всё так как Вы сказали, то Вам надо нарисовать условия положительной определённости квадратичной формы ... и решить выписанные неравенства относительно $%q$%...

(28 Окт 21:28) all_exist

@all_exist, спасибо, но насколько я понимаю положительно определенность квадр.формы просто подтвердит свойство нормы быть неотрицательной, но этого ведь недостаточно? Надо же проверить нер-во треугольника например. И надо чтобы эта n-мерная сфера была замкнутым мн-ом. И вроде как есть и другие требования. Почему положительной определенности достаточно?

(29 Окт 0:11) Квантиль

Норма, заданная квадратичной формой, обычно индуцируется скалярным произведением с некоторой матрицей Грама (которая как раз должна быть положительно определённой)... оттуда следуют все требования к норме...

А замкнутость ... эммм ... а почему ГМТ, описанное условием $%||x||=1$% не должно быть замкнуто?...

(29 Окт 0:55) all_exist

@all_exist, Спасибо, но у меня остаются вопросы. Мы же ещё не знаем что это норма, у нас есть f(x,y,z)=1 и мы ищем нужные q. Может быть при каких-то q это вообще параболоид какой-нибудь, а параболоид не замкнут. И можете пожалуйста подсказать откуда информация про связь матрицы Грамма и нормы? Под обычно вы понимаете всегда?

(29 Окт 17:03) Квантиль
1

Может быть при каких-то q это вообще параболоид какой-нибудь - может... поэтому я и говорю, чтобы Вы проверяли положительную определённость...

И можете пожалуйста подсказать откуда информация про связь матрицы Грамма и нормы? - ну, из алгебры с геометрией... Если есть базис, то в нём можно задать скалярное произведение формулой $%X\cdot Y = \det(X\cdot \Gamma\cdot Y^T)$%... а имея скалярное произведение можно задать норму $%||X||^2 = X\cdot X$%...

Под обычно вы понимаете всегда? - в общем-то, да... )))

(29 Окт 18:55) all_exist

@all_exist, спасибо, я все понял кроме одного. Хотелось бы найти информацию об этом:

"Норма, заданная квадратичной формой, обычно индуцируется скалярным произведением с некоторой матрицей Грама (которая как раз должна быть положительно определённой)... "

Я нашел информацию что если у нас есть скалярное пр-ие в вект. пр-ве, то можно задать норму через него. Но никак не могу найти информацию что если норма дана в виде квадратичной формы, то эта норма (через скалярное пр-ие) единственна (других задать нельзя).

(4 Ноя 4:33) Квантиль

@Квантиль: непонятна постановка Вашего вопроса. Ведь если норма уже дана, как Вы сказали, то в каком смысле можно говорить о единственности? Конечно, норм как таковых имеется много, но если есть положительно определённая форма, то есть скалярное произведение, а потому и норма есть. Это общий факт -- скажем, неравенство треугольника следует из неравенства Коши -- Буняковского.

(4 Ноя 10:28) falcao

@falcao, я имел в виду что может быть есть другие нормы. Я понял что положительная определенность дает условие для нормы (назовем $%\nu_1$%)индуцированной скалярным произведением. Так мы найдем значения $%q$% при которых задается ед.окр-ть относительно нормы $%\nu_1$%. Но может быть есть такие $%q$% при которых наше ур-ие задает ед.окр-ть относительно ДРУГОЙ нормы $%\nu_2$%.

(4 Ноя 21:41) Квантиль

@Квантиль: единичная окружность полностью определяет норму. Зная её, мы знаем все векторы с единичной нормой, а для любого ненулевого вектора v существует единственное k > 0, при котором v/k становится единичным. Это значит, что норма v равна k.

Вообще, это дело можно представлять себе геометрически. Скажем, на плоскости рисуем любую симметричную относительно нуля кривую, ограничивающую выпуклую область. Это может быть эллипс, параллелограмм -- много чего. И такая кривая однозначно задаёт норму, будучи в ней единичной окружностью. В R^3 -- аналогично.

(5 Ноя 0:28) falcao

@falcao, Понял. Скажите пожалуйста, а если я хочу теперь найти норму вектора (1,1,1) то я просто подставляю это в многочлен справа? Т.к. у меня имеется выр-ие $%\nu((x,y,z)) = f(x,y,z)=1$% где слева норма. Но это не совсем так, если окружность с центром не в нуле, потому что если центр не ноль то имеем $%\nu((x,y,z)-centre) = 1$%

(6 Ноя 16:29) Квантиль
1

@Квантиль: если центр не в нуле, то уравнение не будет задавать норму. Можно считать, что норма -- это выражение из левой части.

(6 Ноя 20:22) falcao
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×212

задан
28 Окт 2:39

показан
159 раз

обновлен
6 Ноя 20:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru