Для положительных чисел x, y, z, которые удовлетворяют условию x + y + z = 1, доказать, что выполняется неравенство: ((x+y)^3 / z) + ((y+z)^3 / x) + ((z+x)^3 / y) + 9xyz >= 9(xy + yz + zx)

задан 28 Окт '19 11:53

изменен 28 Окт '19 13:05

А где неравенство?

(28 Окт '19 13:04) all_exist

Извините, исправила

(28 Окт '19 13:08) ler120
10|600 символов нужно символов осталось
2

$$\dfrac {(x+y)^3}{z}+\dfrac {(y+z)^3}{x}+\dfrac {(z+x)^3}{y} \ge 3\dfrac {(x+y)(y+z )(z+x)}{\sqrt[3]{xyz}}\ge 9 (x+y)(y+z)(z+x)=$$

$$=9((xy+yz+zx)-xyz)$$

ссылка

отвечен 28 Окт '19 20:06

10|600 символов нужно символов осталось
1

Используем неравенство $%\frac{a^3}{x} +\frac{b^3}{y} +\frac{c^3}{z} \geq \frac{(a+b+c)^3}{3(x+y+z)}$% - это следствие из нер-ва Гёльдера: $$\frac{(x+y)^3}{z} +\frac{(y+z)^3}{x}+\frac{(x+z)^3}{y} \geq \frac{(2x+2y+2z)^3}{3(x+y+z)} = \frac{8}{3}$$ Тогда исходное неравенство переписывается в виде $$8 + 27xyz \geq 27(xy+yz+xz)$$ Теперь используем тождество $%x^3+y^3+z^3 = (x+y+z)((x+y+z)^2 - 3(xy+yz+xz)) + 3xyz $% Имеем $%x^3+y^3+z^3 = 3xyz- 3(xy+yz+xz) + 1$%. Домножаем на 9: $$ 27xyz - 27(xy+yz+xz) = 9(x^3 + y^3 + z^3) - 9$$ Теперь осталось доказать неравенство $$9(x^3+y^3+z^3) \geq 1$$ Которое также следует из Гёльдера

ссылка

отвечен 28 Окт '19 15:07

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×352

задан
28 Окт '19 11:53

показан
420 раз

обновлен
28 Окт '19 20:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru