Aut(D4)

задан 28 Окт '19 18:08

10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим сначала внутренние автоморфизмы группы G=D4. Известно, что группа внутренних автоморфизмов есть факторгруппа по центру: G/Z(G). Центром D4 будет подгруппа порядка 2 из тождественного преобразования и центральной симметрии. Факторгруппа по ней имеет порядок 4, и она изоморфна прямому произведению Z2xZ2. Это легко увидеть непосредственно, а можно вывести из того, что факторгруппа по центру не может быть циклической.

Итак, мы имеем по крайне мере 4 автоморфизма. Покажем, что их не более 8. Группа D4 порождена поворотом a на 90 градусов и одной из осевых симметрий b. При автоморфизме любой элемент переходит в элемент того же порядка, то есть a может переходить в a или a^{-1}, и b переходит в одну из осевых симметрий ( с учётом того, что центральная симметрия тут не подходит). Итого имеем не более 8 автоморфизмов.

Проверим, что все они реализуются. Для этого достаточно привести пример одного внешнего автоморфизма, когда b переходит в не сопряжённый ему элемент ba. Полагаем a->a, b->ba. Такое отображение продолжается до автоморфизма, при котором все повороты остаются на месте, а для осевых симметрий имеем ba->ba^2, ba^2->ba^3, ba^3->b. При этом соотношения группы a^4, b^2, (ba)^2 переходят в единицу, то есть всё корректно.

Получили группу порядка 8, она неабелева. В ней есть нормальная подгруппа, изоморфная Z2xZ2. Значит, это не группа кватернионов, и тогда получается, что Aut(D4) изоморфна D4.

ссылка

отвечен 29 Окт '19 10:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,481
×66

задан
28 Окт '19 18:08

показан
106 раз

обновлен
29 Окт '19 10:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru