2
1

Конечно недостижимые числа — что это за зверь и с чем его едят (да простят меня вегетарианцы, веганы и прочие любители братьев наших меньших)?

задан 29 Окт '19 1:44

1

@Казвертеночка: а откуда такой термин? Имеются ли в виду недостижимые кардиналы в теории множества, или что-то другое?

(29 Окт '19 2:02) falcao
1

@falcao, А меня сегодня просто жутко потрясла книга «Введение в методологию математики», Мадер В.В., 1995. Из этой книги и взят термин, а именно со страницы №396.

(29 Окт '19 2:22) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
3

Я скачал книгу (раньше о ней не знал) и посмотрел фрагмент на указанной странице и около неё. Эта проблематика мне в принципе известна. Постараюсь описать своими словами какие-то вещи, с этим связанные.

Рассмотрим такой принцип, на основе которого можно излагать аксиоматику Пеано: до любого натурального числа можно досчитать. В каком-то смысле этот принцип неверен, так как мы прекрасно знаем, что числа бывают столь огромные, что на деле до них никто не досчитает. Однако мы абстрагируемся от технических возможностей и фактически постулируем следующее. Если начать с числа 0, и переходить от числа к следующему за ним (обозначаемому "штрихом"), то в ряду 0, 0', 0'', ... встретятся все натуральные числа.

Ничего удивительного в этом принципе нет, и именно на нём основывается принцип математической индукции. Если дано множество натуральных чисел, которому принадлежит 0, и вместе с каждым n из множества, число n' также принадлежит этому множеству, то все натуральные числа ему принадлежат.

Теперь зададимся вопросом, который естественен ввиду "очевидности" и привычности этого принципа: а как представить себе сколь-нибудь разумную ситуацию, когда может быть по-иному? Вот мы привыкли к евклидовой геометрии, к теореме Пифагора, к утверждению о сумме углов треугольника. А может ли быть как-то совсем не так? Все более или менее осведомлены о неевклидовой геометрии, и знают, что есть столь же цельная и непротиворечивая теория, где многие привычные свойства нарушаются. Для такой геометрии есть модели, где особым образом задаются прямые, и там можно непосредственно увидеть нарушение многих свойств евклидовой геометрии.

Оказывается, что в арифметике увидеть такие возможные нарушения (в нестандартных, разумеется, моделях) намного проще. Как бы ни был нам привычен принцип индукции (он же -- принцип "достижимости" любого натурального числа), сейчас мы опишем модель или нечто вроде неё, где очевидным образом присутствуют "недостижимые" натуральные числа.

Я начну с изложения своего описательного примера, который в литературе мне в явном виде нигде не встречался. Вот мы говорим о натуральном ряде, состоящим из чисел 0, 1, 2, 3, ... "и так далее". Мы можем указать в начале пять чисел, десять, сколько-то ещё -- какое-то представление о натуральном ряде всё равно возникает. Часто в связи с этим упоминают первобытные племена, которые умеют считать только до какого-то числа, и вместо, например, семи идёт "много". Этим иллюстрируют идею, что ряд может быть "коротким". И говорить о появлении чего-то фактически бесконечного на базе конечного.

Но я хочу сделать акцент немного на другом. Допустим, я тот же натуральный ряд запишу в виде 0, 1, 2, ... , n, ... . Тут тоже нет ничего удивительного, и выделение числа n (какого, кстати?) часто происходит, когда мы записываем числовые ряды. Запись a(1)+a(2)+...+a(n)+... гораздо чаще встречается, чем a(1)+a(2)+a(3)+... , хотя означает ровно то же самое.

Теперь попробуем немного разнообразить "меню". Вместо предыдущего представления натурального ряда я запишу 0, 1, 2, ... , n, n+1, n+2, ... , подчёркивая тот факт, что за числом n также идёт следующее, а за ним ещё одно, и так далее. Но ряд остаётся прежним -- меняется лишь способ его наглядной записи.

Или вот ещё вариант: 0, 1, 2, ... , n-1, n, n+1, n+2, ... , где мы пожелали указать у числа n непосредственного предшественника. Что мы тут можем заметить? Можно ли досчитать до числа n? Вроде бы да, так как мы приняли абстракцию потенциальной осуществимости. Однако это значит, что мы можем досчитать до n, если это миллион или миллиард. А что если n -- это некое неопределённое "эн"? :) Тогда мы точно до него не досчитаем, поскольку нет такого слова среди реально существующих имён числительных.

Вот модель фактически и готова: n "недостижимо". Начиная от 0 и считая далее, мы где-то "увязнем" и никогда не дойдём до нашего "неопределённого" n. В то же время, если мы "долетели" до n, и смотрим на натуральный ряд "вблизи" этого числа, то всё устроено как обычно. Идём вправо -- там n+1, n+2, ... . Идём влево -- там n-1, n-2, ... До нуля мы при этом не доходим ровно по той же причине, по которой от 0 не доходим до n. А это это означает? Фактически, то, что "внутри" N находится копия системы целых чисел Z.

На базе этой идеи легко воплотить на формальном уровне сказанное выше (вот эта конструкция уже достаточно хорошо известна). Рассматриваем множество N+Z. То есть это дизъюнктное объединение двух множеств. Элементы первой части, то есть N, можно обозначать как обычно. Элементы второй -- пусть будет в виде n(i), где n -- символ, а i пробегает Z. В этом множестве есть 1 (или 0, если мы начинаем натуральный ряд с нуля). Для каждого элемента определено последующее: за числом k из N идёт обычное k'=k+1; за числом n(i) следует n(i+1). Начальное число не имеет предшественника. Далее, из x'=y' следует x=y для любых элементов нашего множества. Это четыре аксиомы Пеано из пяти. А пятая, принцип индукции, здесь очевидным образом не выполнена, так как числа вида n(i) здесь недостижимы. До них нельзя досчитать ни при каких абстракциях и гипотезах.

Это как бы одна из моделей. На основе той же идеи никто не мешает строить нечто более сложное. Допустим, я запишу 0, 1, 2, ... , n, n+1, n+2, ... , m, m+1, m+2, ... , где m "много больше" n. Этому будет соответствовать модель типа N+Z+Z. Ясно, что можно так же точно рассматривать модели с бесконечным числом Z "в хвосте", причём бесконечным в обе стороны.

Я, конечно, придерживаюсь идеи о том, что Натуральный Ряд (стандартный, классический) всецело единственен, и ему нет и не будет никаких "конкурентов". То, что мы наблюдаем здесь эти модели, позволяет их изучать как некие интересные математические объекты -- упорядоченные множества, напоминающие Натуральный Ряд. Однако мы видим, что все они содержат начальный отрезок N, то есть по этой причине они уже явно "нестандартны" и описывают совсем не то, что мы имели в виду. Однако, если мы вернёмся к примеру с рядом 0, 1, 2, ... , n, n+1, n+2, ... , то там уже выделять в начале нечего. Правда, это не "другой" натуральный ряд, а всё тот же самый -- просто рассмотренный под другим "углом зрения".

Что касается теорем о неполноте арифметики и существования нестандартных моделей арифметики PA, то автор книги достаточно ясно по этому поводу замечает, что дело там в "бедности" арифметического языка, который охватывает только те свойства (подмножества), которые можно задать арифметическими формулами. А в языке теории множеств мы так или иначе учитываем "все" свойства, и там получается единственность. Это все прекрасно понимают, но в момент создания моделей в духе "финитизма", теорию множеств поставили под сомнение как нечто "некошерное" из-за такого пустяка (без кавычек!) как парадокс Рассела. Я думаю, что со временем это всё "рассосётся", но не знаю, насколько быстро это произойдёт.

ссылка

отвечен 29 Окт '19 4:48

@falcao, большое спасибо за исчерпывающий ответ!

(29 Окт '19 12:16) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,404
×4
×2
×2
×1

задан
29 Окт '19 1:44

показан
290 раз

обновлен
29 Окт '19 12:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru