Столкнулся с необходимостью сравнить числа: 2arccot2 и 4-sqrt(10). Ясное дело - вручную...

задан 29 Окт '19 12:28

изменен 29 Окт '19 12:29

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть ф=arccot(2). Тогда cot(ф)=2, где ф -- острый угол. Отсюда tan(ф)=1/2, 1/cos^2(ф)=1+tan^2(ф)=5/4, sin^2(ф)=1/5, sin(ф)=1/sqrt(5), то есть ф=arcsin(1/sqrt(5)).

Воспользуемся неравенством sin x < x для x из (0,п/2), откуда ф > sin(ф)=1/sqrt(5). Получим, что 2arccot(2)=2ф > 2/sqrt(5), и достаточно проверить неравенство 2/sqrt(5) > 4-sqrt(10). Оба числа положительны, возводим в квадрат: 4/5 > 26-8sqrt(10), то есть sqrt(10) > 63/20. Ещё раз возводим в квадрат: 10 > 3969/400, то есть неравенство верно.

ссылка

отвечен 30 Окт '19 23:13

@falcao, красиво...

(31 Окт '19 0:04) all_exist

@all_exist: я вчера эту задачу решал устно, когда шёл на проверку задач олимпиады :) Мне поначалу показалось, что числа тут подобраны слишком "вольно", хотя на самом деле они довольно близки друг к другу.

Изначально я сравнивал квадраты чисел 2/sqrt(5)+sqrt(10) и 4. Так, наверное, даже лучше, так как там числа поменьше. Всё сводилось к неравенству 200 > 169.

(31 Окт '19 1:31) falcao

я вот не додумался перебраться к арксинусу... всё с арктангенсом возился...

(31 Окт '19 1:55) all_exist

@falcao. Большое спасибо. Проблема возникла в ходе решения задания вступительного экзамена в МГУ середины 60-х годов. Причем далеко не на математический факультет. Тригонометрическое уравнение несложное, но требовалось проверить принадлежность корня ОДЗ уравнения.

(1 Ноя '19 1:20) nynko

@nynko: а можно увидеть условие исходной задачи? В любом случае, получился довольно удачный самостоятельный пример.

(1 Ноя '19 1:33) falcao

@falcao. Да, пожалуйста. Решить уравнение. Основание степени: под модулем находится ctg(x/2)-2/ctg(x/2). Показатель степени sqrt(8x-x^2-6). В правой части единица. (вида A^B=1). Отделение политэкономии. Книга П.С. Моденова. Экзаменационные задачи по математике...Издание 1969 года. У меня один из корней 2arcct(2), который надо проверить на попадание в ОДЗ

(1 Ноя '19 9:41) nynko
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×216
×58

задан
29 Окт '19 12:28

показан
154 раза

обновлен
1 Ноя '19 9:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru