Найти поток вектора $%F = x^2i-y^2j+z^2k$%, через часть сферы $%x^2+y^2+z^2 = R^2$%, $%(x \geq0;y \geq0;z \geq0 ) $% в направлении внешней нормали

Формула необходимая для нахождения потока вектора в направлении внешней нормали: $$\iint_{\sigma} F\cdot n d\sigma $$ Я так понимаю $%n = (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) $%

Тогда исходное выражение примет вид: $$\iint_{\sigma} F\cdot n d\sigma =\iint_{\sigma} (x^2cos\alpha-y^2\cos\beta+z^2\cos\gamma) d\sigma$$

задан 29 Окт '19 12:53

изменен 29 Окт '19 17:00

Забыл учесть $%(x \geq0;y \geq0;z \geq0 )$%

(29 Окт '19 14:12) Flur

Ничего не понял насчёт "сферы, в которой проецируется...". У Вас по заданию часть сферы, лежащая в первом октанте. Замкните её координатными плоскостями, и примените формулу Гаусса-Остроградского. Полученный тройной интеграл посчитаете переходом в сферические координаты. Ну и останется посчитать интегралы по трём дополнительным плоскостям, чтобы вычесть их значения из первого ответа. Но интегралы по плоскостям считаются фактически устно.

(29 Окт '19 14:52) caterpillar

Берём формулу Гаусса-Остроградского: $${\iint\limits_S {\mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}} } = {\iiint\limits_G {\left( {\nabla \cdot \mathbf{F}} \right)dV} } = {\iiint\limits_G {\left[ {\frac{\partial }{{\partial x}}\left( x \right) + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( y \right) + \frac{\partial }{{\partial z}}\left( z \right)} \right]dxdydz} }$$

(29 Окт '19 17:05) Flur

Потом делаем переход в сферические координаты: $${x = r \cos \varphi \sin \theta ,}\;\; {y = r \sin \varphi \sin \theta ,}\;\; {z = r \cos \theta }$$ Немного не понимаю, что за интегралы по плоскостям ?

(29 Окт '19 17:11) Flur

" Замкните её координатными плоскостями" - Это значит просто вырезать кусок сферы ?

(29 Окт '19 17:11) Flur

Чтобы применять формулу Г.-О. поверхность должна быть замкнута. Кусок сферы -- это не замкнутая поверхность (у неё есть край). Поэтому кусок сферы надо замкнуть, добавив к нему плоскости x=0, y=0, z=0. Но тогда получится поток не через кусок сферы, а через замкнутую поверхность. Чтобы получить поток через кусок сферы, надо вычесть из полученного ответа интегралы по добавленным плоскостям x=0, y=0, z=0.

(29 Окт '19 17:22) caterpillar

Так, ну получилось это: $$2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\phi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin\theta(sin\theta cos\phi - sin\theta sin\phi + cos\theta) d \theta \int_0^R r^3 dr $$

Ну и при решении ответ получился:

$$\frac{\pi R^4}{8}$$

(29 Окт '19 17:53) Flur

Даже с ответом в учебнике сошлось, красиво .) Спасибо Вам, а то по примеру из учебника неправильно пошёл.

(29 Окт '19 17:57) Flur

Но это ещё не конец, ведь надо ещё вычесть интегралы по добавленным плоскостям (они нулевые, но всё равно их надо вычислить, иначе решение не засчитывается, как верное).

(29 Окт '19 18:01) caterpillar

Таким образом ?

$$\frac{\pi R^4}{8} - (\int_0^x 0dx + \int_0^y 0dy + \int_0^z 0dz) = \frac{\pi R^4}{8}$$

(29 Окт '19 18:12) Flur

Нет. Для примера, посчитайте интеграл $%\int\limits_S Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$%, где $%S$% -- часть плоскости $%z=0$% (на самом деле, неважно, что это часть плоскости). Это делается просто по определению, через нормаль.

(29 Окт '19 18:22) caterpillar

Ну если, ($%P = x$%;$%Q = y$%;$%R = z$%), а все они нулевые: Тогда формула будет выглядеть так: $${\iint\limits_S {Pdydz + Qdxdz + Rdxdy} } =\int_G \frac{\partial 0}{\partial x}dx + \int_G \frac{\partial 0}{\partial y}dy +\int_G \frac{\partial 0}{\partial z}dz $$

(29 Окт '19 18:46) Flur

Во-первых, $%P=x^2$%, $%Q=-y^2$%, $%R=z^2$%. Во-вторых, по определению $%\int\limits_S Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\int\limits_D ((P,Q,R),(0,0,-1))dxdy=-\int\limits_D z^2dxdy=0$%. Здесь в качестве параметров выбраны $%x,y$%, а $%(0,0,-1)$% -- внешняя нормаль и учтено, что $%z=0$%. Также $%D$% -- проекция $%S$% на $%xOy$%.

(29 Окт '19 19:57) caterpillar
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×10

задан
29 Окт '19 12:53

показан
443 раза

обновлен
29 Окт '19 19:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru