Пусть f,g: X->R непрерывные отображения. Доказать что отображение h: X->R непрерывно, если h(x)=f(x)+g(x)

задан 29 Окт '19 19:41

1

Отображение топологических пространств непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке. Непрерывность числовой функции $%f$% в точке $%x_0\in X$% означает, что $%\forall\varepsilon>0$% $%\exists U(x_0)\subset X:$% $%\forall x\in U(x_0)$% $%|f(x)-f(x_0)|< \varepsilon$%. Аналогично для $%g(x)$%. Выбирая пересечение окрестностей, получим определение непрерывности суммы.

(30 Окт '19 15:47) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
-1

Через пределы доказывается. предел суммы равен сумме пределов. Lim(f(x)+g(x)) при x->x0 равен f(x0)+g(x0)

Пусть U - топология X. Возьмём произвольное eps>0

Для eps/2 найдётся u1 окрестность точки x0 то есть найдётся u1 подмножество U такое что x0 принадлежит u1. Такое что на u1 |f(x)-f(x0)|<=eps/2 эта запись обозначает всё равно что

f(u1) содержится в интервале (-eps/2+f(0),f(x0)+eps/2) открытое подмножество R содержащую точку f(x0). то есть окрестность точки f(x0) потому что интервалы в R вещественной прямой открытые множества содержатся в топологии R.

Аналогично для g(x) найдётся u2 окрестность точки x0 такое что на ней |g(x)-g(x0)|<=eps/2

Пересечение окрестностей u1 и u2 содержится в топологии U из определения топологии и содержит нашу точку x0. то есть u1 пресечение u2 окрестность x0

На этой окрестности верно

|f(x)-f(x0)|<=eps/2 |g(x)-g(x0)|<=eps/2

Эти два неравенства можно почленно сложить Почему так можно делать можно прочитать об этом в моей книге http://artem00511.narod.ru/html_shop/index.html#!digiseller/articles/15935

|f(x)-f(x0)|+|g(x)-g(x0)|<=eps

Теперь модуль суммы |x+y| меньше либо равен суммы модулей |x|+|y|

Отсюда имеем |f(x)-f(x0)+g(x)-g(x0)|<= |f(x)-f(x0)|+|g(x)-g(x0)|<=eps

то есть |f(x)+g(x) - (f(x0)+g(x0))| <=eps то есть для eps окрестности точки f(x0)+g(x0) мы нашли окрестность u1 пересечение u2 в топологии U такое что f(x)+g(x) содержится в eps окрестности f(x0)+g(x0)

То есть предел суммы равен сумме пределов

ссылка

отвечен 29 Окт '19 21:09

изменен 30 Окт '19 18:37

@artem00, Х не обязано быть метрическим пространством

(29 Окт '19 22:27) spades

@artem00, довольно много текста для такого банального вопроса. И, у Вас что, на всё есть своя книга или программа? Или рекламируете постоянно одно и то же, лишь бы заходили?

(30 Окт '19 18:50) caterpillar

У меня интернет магазин

(30 Окт '19 19:36) artem00

И не какой он не банальный вопрос.

(30 Окт '19 19:39) artem00

книга лучший подарок

(31 Окт '19 21:24) artem00
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×139

задан
29 Окт '19 19:41

показан
700 раз

обновлен
31 Окт '19 21:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru