2121...21 ("21" повторено четное количество раз)

задан 30 Окт '19 10:07

Раскладывайте на множители...

(30 Окт '19 11:48) all_exist
1

@all_exist: а что это даст? Получится число 101...01, про разложение которого мы мало что знаем.

(30 Окт '19 12:30) falcao

@all_exist, я раскладывал. Еще можно на 101 поделить. И дальше использовать кратность оставшегося числа 3, 7 и 101. Возникают числа вида 100..0100..01...0100..01. У меня получилось однажды решение, но сейчас (уже вторую неделю) не могу его воспроизвести.

(30 Окт '19 12:48) make78
1

Если "21" повторено n раз , то $%2121...21 = 21(10^{2n-2} +... +1) = \frac{21(10^{2n} - 1)}{99} = \frac{7(10^{2n}-1)}{33} = k^2$% , тогда $%7⋅100^n = 33k^2 + 7$% , откуда $%(10^n)^2 = 231m^2 + 1$%.Тогда надо доказать ,что в последовательности $%1/2((76 - 5\sqrt{231})^n + (76+5\sqrt{231})^n)$% нет степени десятки. Вот это непонятно

(30 Окт '19 15:32) lawyer
1

@lawyer, @falcao, а если так:

$%n=2k$% (по условию). Тогда $%(10^k-1)(10^k+1)(10^{2k}+1)=231m^2$%. В левой части три взаимно простых множителя и ни один из них не является полным квадратом (остатки на 4, 3, 3 соответственно), не считая, возможно, случая $%k=1$%. Тогда эти три множителя равны $%3\alpha^2, 7\beta^2, 11\gamma^2$% в каком-то порядке ($%\alpha, \beta, \gamma\in\mathbb{N}$%). На $%3$% делится только $%10^k-1$%, откуда $%33...3$% - полный квадрат. Противоречие.

(31 Окт '19 11:14) make78
1

На $%3$% делится только $%10^k-1$%, откуда $%33...3$% - полный квадрат. Противоречие.

(31 Окт '19 11:17) make78
1

@make78: сказанное похоже на правду.

(31 Окт '19 11:48) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×958

задан
30 Окт '19 10:07

показан
673 раза

обновлен
31 Окт '19 11:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru