Доказать, что множество действительных чисел эквивалентно множеству иррациональных чисел R⇔J

задан 31 Окт '19 18:52

1

Есть общий факт: если к бесконечному множеству добавить не более чем счётное, то получится равномощное множество. На эту лемму можно сослаться, применив её к множеству иррациональных чисел, к которому добавили счётное множество рациональных чисел.

P.S. Заголовки желательно давать содержательные (скажем, "действительные и иррациональные").

(31 Окт '19 19:01) falcao

ну то есть они эквивалентны?

(31 Окт '19 19:25) apple

нужен пример

(31 Окт '19 19:28) apple

@Айсылу: я предпочитаю называть такие множества равномощными, хотя их же называют эквивалентными.

Никакой пример тут не нужен: я дал общее доказательство. При желании можно разве что дать более явную конструкцию. Можно в J выбрать счётное подмножество чисел вида x(n)=n*sqrt(2), n=1,2,... . Рациональные числа нумеруем в виде r(i), i=1,2,... . Переводим r(i) в x(2i-1), а x(i) в x(2i). Остальные числа остаются на месте. Это биекция R на J. Но в таком виде основная идея не так ясна, как если рассуждать для общего случая.

(31 Окт '19 22:16) falcao

хорошо, спасибо вам большое)

(31 Окт '19 22:21) apple
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×283

задан
31 Окт '19 18:52

показан
171 раз

обновлен
31 Окт '19 22:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru