С точностью до изоморфизма описать автоморфизмы и внутренние автоморфизмы группы кватернионов.
Сейчас есть такие рассуждения:
1. Единица автоморфизмом не перемещается
2. Порядок элементов при автоморфизме не меняется. В группе порядок 2 имеют только элементы 1 и -1 (проверяем "в лоб"), поэтому -1 также остаётся на месте
3. Порядок остальных элементов - 4. Из них можем выделить всего 3 подгруппы порядка 4: $%< i >$%, $%< j >$% и $%< k >$%
4. Так как $%Q_{8} = < i, j >$%, автоморфизм будет определяться образами $%i$% и $%j$%. При этом эти образы не должны принадлежать одной циклической подгруппе: $%\phi(i)\notin< \phi(j) >,\;\phi(j)\notin< \phi(i) >$%
5. Таким образом: $%i$% может перейти в один из 6 элементов $%(i, -i, j, -j, k, -k)$%, а для $%j$% останется только 4 элемента. Отсюда делаем вывод, что $%Aut(Q_{8})\cong S_{4}$%

Для внутренних автоморфизмов не получилось даже незаконченного доказательства, но я нашёл, что она должна быть изоморфна четверной группе Клейна:
1. Центр группы (определяем также "в лоб"): $%Z(Q_{8})=\{1, -1\}$%
2. По определению: $%Inn(Q_{8})=Aut(Q_{8})/Z(Q_{8})=S_{4}/\{1, -1\}$%
3. ???

С другой стороны, можно посмотреть на то, что будет получаться при попытках построить автоморфизм через сопряжение с каждым из элементов группы:
1. $%x^{-1}=-x,\; \forall x\in\{i,j,k\} \Rightarrow xax^{-1} = xa(-x) = (-x)ax = x^{-1}ax\;\forall a\in Q_{8}$%
2. Из предыдущего пункта следует, что сопряжение с $%x$% эквивалентно сопряжению с $%x^{-1}$%. Также сопряжение с $%\pm1$% эквивалентно тождественному отображению
3. Посмотрим, куда переходят элементы $%i$% и $%j$% при сопряжении, например, с $%k$%: $$kik^{-1}=j(-k)=-i$$ $$kjk^{-1}=(-i)(-k)=-j$$ 4. В итоге получили: $$\phi(i)=-i,\;\phi(j)=-j\Rightarrow\phi^{2}=Id$$ 5. Аналогично рассмотрев сопряжения с $%j$% и $%k$% получим такие же результаты. То есть в группе $%Inn(Q_{8})$%, помимо единичного элемента, есть ещё 3 элемента порядка 2, откуда следует $%Inn(Q_{8})\cong V_{4}$%

Однако второе доказательство, по сути, сводится к полному перебору, потому кажется мне не подходящим.

задан 1 Ноя '19 23:03

изменен 2 Ноя '19 1:23

10|600 символов нужно символов осталось
0

Тут можно было начать с пункта 4. Описание автоморфизмов верное, и их 24, но отсюда не следует, что это группа S4. Последнее надо доказывать. Чтобы не делать лишних вычислительных проверок, можно сослаться на упоминание почти того же самого вопроса, и внутри имеется ссылка на заметку, в которой при помощи раскрасок куба все автоморфизмы анализируются.

С внутренними автоморфизмами всё намного проще, только там опечатка в формуле: Inn G есть факторгруппа самой группы G по центру, что в данном случае даёт Q8/{1,-1}, и это Z2xZ2, то есть четверная группа Клейна. Это видно непосредственно, так как квадраты всех элементов принадлежат {1,-1}, то есть факторгруппа удовлетворяет тождеству X^2=1, откуда всё сразу следует.

ссылка

отвечен 2 Ноя '19 5:42

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,011
×1,187
×2

задан
1 Ноя '19 23:03

показан
538 раз

обновлен
2 Ноя '19 5:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru