а) (автор задачи — О. Подлипский)

Каждый из 10 человек – либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжет. Каждый из них задумал какое-то целое число. Затем первый сказал: «Мое число больше 1», второй сказал: «Мое число больше 2», …, десятый сказал: «Мое число больше 10». После этого все десять, выступая в некотором порядке, сказали: «Мое число меньше 1», «Мое число меньше 2», …, «Мое число меньше 10» (каждый сказал ровно одну из этих десяти фраз). Какое максимальное число рыцарей могло быть среди этих 10 человек?

б) Каждый из 10 человек – либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжет. Каждый из них задумал целое число в диапазоне от 1 до 10, причём все задуманные числа оказались попарно различными. Затем первый сказал: «Мое число больше 1», второй сказал: «Мое число больше 2», …, десятый сказал: «Мое число больше 10». После этого все десять, выступая в некотором порядке, сказали: «Мое число меньше 1», «Мое число меньше 2», …, «Мое число меньше 10» (каждый сказал ровно одну из этих десяти фраз). Какое максимальное число рыцарей могло быть среди этих 10 человек?

задан 2 Ноя '19 0:43

10|600 символов нужно символов осталось
2

а) Пусть рыцарь задумал число $%x$% и сказал, что оно больше $%a$% и меньше $%b$%. Тогда выполняются неравенства $%1\le a < x < b\le10$%, то есть рыцарь не мог сказать, что его число больше 9, или что оно больше 10. Значит, лжецов по меньшей мере два.

Пример с 8 рыцарями таков: они задумали числа от 2 до 9, и сказали, соответственно, что их числа больше 1, ... , 8, а также что они меньше 3, ... , 10. Лжецами являются здесь авторы заявлений, что их число больше 9, больше 10, меньше 1, меньше 2. Такое могло быть, если оба лжеца задумали, например, число 2.

б) Для модифицированного варианта этот пример уже не проходит, то есть рыцарей не могло быть 8. В противном случае лжецы те же самые, и задуманные рыцарями числа те же, что указаны выше -- другие значения, как легко понять, невозможны. Тогда лжецы должны были задумать 1 и 10, поскольку значения не повторяются. В этом случае задумавший 10 даст правдивый ответ "больше 9", что приводит к противоречию.

Сократим число рыцарей до семи, и пусть они задумали числа от 2 до 8, дав при этом ответы про больше 1, ... , 7 и про меньше 3, ... , 9. За лжецами остаются ответы про больше 8, 9, 10 и про меньше 1, 2, 10. Задуманные лжецами числа равны 1, 9, 10. такое могло быть : задумавший 1 сказал "больше 8" и "меньше 1"; задумавший 9 сказал "больше 9" и "меньше 2"; задумавший 10 сказал "больше 10" и "меньше 10". Итого получается пример с 7 рыцарями.

ссылка

отвечен 2 Ноя '19 4:26

@falcao, Вы пишете: "В этом случае задумавший 10 даст правдивый ответ "больше 9", что приводит к противоречию." ... А почему он не может дать лживый ответ "больше 10"?

(2 Ноя '19 11:45) Казвертеночка
2

@Казвертеночка: это я, выходит, недосмотрел. Мне поначалу казалось, что модификация не даёт ничего нового. Потом "привиделось" противоречие. Конечно, задумавший 10 скажет > 10 и < 2; задумавший 1 скажет > 9 и < 1.

(2 Ноя '19 13:19) falcao
1

@falcao, получается, ответ в обоих случаях будет 8?

(2 Ноя '19 13:46) Пацнехенчик ...
2

@Пацнехенчик ...: да, если я не ошибаюсь.

(2 Ноя '19 17:29) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×501
×213
×139
×13
×2

задан
2 Ноя '19 0:43

показан
1031 раз

обновлен
2 Ноя '19 17:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru