1)

D={z:Rez>0, Imz>0}, w=2*((z-i)/(z+i))

2)

D={z:-1<Imz<0}, w=(z-i)/(z+i)

Помогите, пожалуйста, разобраться с этими задачами, так как очень большие проблемы возникают при осуществлении алгоритма. Буду Вам очень признателен.

задан 3 Ноя '19 23:51

1

смотрите куда переходит граница...

(4 Ноя '19 0:09) all_exist

Можно даже не анализировать в общем, а брать на границе отдельные точки. Тогда из свойств дробно-линейных отображений будет видно, куда переходят и граница области, и сама область.

(4 Ноя '19 0:30) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
4

"Алгоритма" как такового тут нет. Есть набор свойств дробно-линейной функции: конформность, круговое свойство, сохранение симметрии, соответствие границ, общий вид через три точки, на худой конец. Не все их обязательно нужно использовать (это я про общий вид через три точки), а что именно использовать, зависит от конкретного задания. Что нужно использовать обязательно -- это круговое свойство, т.е. то, что окружности или прямые переходят в окружности или прямые.

Возьмём первый пример. Тут у нас отображение $%w=2\cdot\frac{z-i}{z+i}$%. Особая точка $%z=-i$% лежит на прямой $%\text{Re}z=0$%, которая содержит часть границы области $%D$%. Таким образом, прямая $%\text{Re}z=0$% при нашем отображении переходит в прямую (т.к. окружность не может проходить через бесконечную точку). Прямую проще всего построить по двум точкам. Также надо учесть, что у нас отображается не вся прямая $%\text{Re}z=0$%, а только верхняя половина, поэтому логично посмотреть, куда переходят именно крайние точки: заметим, что точка 0 при отображении переходит в -2, а точка $%\infty$% -- в 2. Итого, образом первой части границы является отрезок $%[-2,2]$% действительной оси (поскольку $%-i$% не лежит на части границы. Если бы лежала, т.е. мы искали бы образ нижней полуоси, то образом было бы объединение лучей $%(-\infty,-2]$% и $%[2,+\infty)$%).

Вторая часть границы $%\text{Im}z=0$% не проходит через особую точку отображения, поэтому образом будет окружность. Для нахождения окружности наиболее рационально в большинстве случаев использовать принцип симметрии. Хотя здесь можно и по трём точкам построить, но это потому, что пример простой. Я опишу вариант с использованием принципа симметрии.

У нас точка $%-i$% переходит в $%\infty$%, поэтому, согласно принципу симметрии, точка, симметричная $%-i$% относительно прямой $%\text{Im}z=0$% (т.е. точка $%i$%), перейдёт именно в центр окружности. Находим $%w(i)=0$% -- это и есть центр. Теперь достаточно подставить ещё одну точку, например, 0. Образом будет точка на окружности, т.е. -2. Таким образом, окружность имеет радиус 2. Теперь осталось заметить, что у нас отображалась не вся прямая $%\text{Im}z=0$%, а только правая её часть, т.е. образом будет не вся окружность, а только какая-то часть. Чтобы выяснить, какая, можно подставить крайние точки: 0 уже подставили, если подставим $%\infty$%, то получим 2. И ещё какую-нибудь, например, 1. Т.к. $%w(1)=-2i$%, то образом является нижняя полуокружность.

Таким образом, вся граница переходит в нижнюю полуокружность, замкнутую отрезком действительной оси.

Чтобы понять, какая получается область, проще всего подставить какую-то точку из исходной области, например, $%1+i$%: $%w(1+i)=\frac{2}{5}-\frac{4}{5}i$% -- это попадает внутрь нашего полукруга, т.е. образом будет именно этот полукруг.

Второй пример попробуйте сделать при помощи аналогичных рассуждений. Он даже проще, поскольку там отображаются прямые целиком, а не их части.

ссылка

отвечен 4 Ноя '19 6:09

изменен 29 Мар 6:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×379
×5

задан
3 Ноя '19 23:51

показан
833 раза

обновлен
29 Мар 6:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru