Дана задача:

Построить функцию Грина смешанной задачи Дирихле — Неймана для двумерного уравнения Лапласа в первой координатной четверти:
$%∆u = 0, x > 0, y > 0$%
$% u(0, y) = f(y), u_y'(x, 0) = g(x) $%

В решении этой задачи, сначала находится функция грина G:

$% G(x, y, x_0, y_0) = \frac{1}{4\pi}\ln $% (((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2)((x - x_0)^2 + (y + y_0)^2))/(((x + x_0)^2 + (y + y_0)^2)((x + x_0)^2 + (y - y_0)^2))

А далее ответ представлен формулой:

$% u(x_0, y_0) = \int_0^{\infty}(u\frac{\partial G}{\partial n} - G\frac{\partial u}{\partial n})dx + \int_0^{\infty}(u\frac{\partial G}{\partial n} - G\frac{\partial u}{\partial n})dy $%

где
$% \frac{\partial G}{\partial n}= G_x'n_x + G_y'n_y $%
$% \frac{\partial u}{\partial n}= u_x'n_x + u_y'n_y $%

И теперь главный вопрос, откуда и как и выводится последняя формула с двумя интегралами, один по dx, другой по dy?
Возможно это связано со второй формулой Грина, но как именно понять не получается

задан 4 Ноя 17:09

изменен 4 Ноя 17:45

Вижу, что некорректно отображается формула с G и latex, но не понимаю в чём там проблема, в режиме редактирования всё нормально

(4 Ноя 17:17) Neo

А что непонятного? Из второй формулы Грина выводится решение в виде интеграла по границе. Вот он и превращается в сумму интегралов, когда параметризуете каждую из частей: одну -- считая параметром x, другую -- считая параметром y. А вот что действительно странно -- это почему в "ответе" не участвуют f и g?

(4 Ноя 17:23) caterpillar

@caterpillar, в первом интеграле $% G\frac{\partial u}{\partial n} $% равно u'_yG, а согласно условию u'_y = g(x), соотв. u'_yG = G*g(x). И во втором интеграле похожая ситуация, только выходит f(y)

(4 Ноя 17:30) Neo

@caterpillar, тогда чуть другой вопрос, почему решение будет равно второй функции грина? я понимаю что здесь скорее всего достаточно тривиальный ответ, но я пока лишь разбираюсь в этом, и не понимаю многих вещей

(4 Ноя 17:35) Neo

В таком случае странно называть это ответом. Это скорее общая формула решения.

Как выводится общее решение из второй формулы Грина, можете посмотреть в теории, например, в учебнике Тихонова и Самарского.

(4 Ноя 17:46) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×73
×52
×5

задан
4 Ноя 17:09

показан
71 раз

обновлен
4 Ноя 17:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru