Будем говорить, что допустимая функция $%\widehat{x}$% доставляет слабый локальный минимум (максимум) в задаче $%J(x(\cdot))=\int_{t_0}^{t_1}f(t,x(t),\dot{x}(t))dt\rightarrow extr, x(t_0)=x_0,x(t_1)=x_1$%,

если $% \exists \delta >0$% такое, что $%J(x(\cdot))\geq J(\widehat{x}(\cdot))$% (или соответственно, $%J(x(\cdot))\leq J(\widehat{x}(\cdot))$%), $%\forall$% допустимой функции $%x$%, для которой $% \begin{Vmatrix} x-\widehat{x} \end{Vmatrix}_1 < \delta $%.

Исследовать экстремаль $%\widehat{x}=0$% на слабый экстремум в зависимости от значений параметра $%a$% в задаче $%\int_{0}^{1}((1+a\dot{x_1}^2)^2+(a+1)\dot{x_2}^2-ch(x_1)-cos(x_2))dt\rightarrow extr, x_1(0)=x_1(1)=0, x_2(0)=x_2(1)=0$%

задан 4 Ноя 21:22

изменен 5 Ноя 22:00

В чём смысл индексов у иксов в интеграле, если в условиях никаких индексов нет?

(5 Ноя 6:04) caterpillar

В условиях видимо векторы...

(5 Ноя 6:33) all_exist

Первый раз встречаю такую запись) Обычно не ленятся расписать покоординатно. В любом случае, хоть Вы, скорее всего и правы, вопрос к остаётся автору.

(5 Ноя 6:44) caterpillar

Ещё, допишите определение слабого экстремума, а то возможны разночтения.

(5 Ноя 9:58) caterpillar

Все, вроде добавил.

(5 Ноя 21:36) frostik
10|600 символов нужно символов осталось
2

Потребуются следующие условия:

  1. Условие Якоби: уравнение Якоби $%L_{\dot x\dot x}\ddot h+\dot h\cdot\frac{d}{dt}L_{\dot x\dot x}+h(\frac{d}{dt}L_{ x\dot x}-L_{xx})=0$% имеет нетривиальное решение, причём $%h(0)=0$% и $%h(t)\ne0$% при $%t\in(0,1]$%. В уравнение Якоби подставляются значения всех производных $%L$% на экстремали.
  2. Усиленное условие Лежандра: $%L_{\dot x\dot x}\mid_{\hat x}>0$%
  3. Условие Лежандра -- то же, что и усиленное, только неравенство нестрогое.

Поскольку у нас тут две переменных, то в условии Лежандра имеется ввиду матрица вторых производных. В условии Якоби -- тоже стоят матрицы, т.е. уравнение Якоби -- матричное. Но поскольку все матрицы там диагональные, то это -- два независимых уравнения (по переменной $%x_1$% и по переменной $%x_2$%) и их можно рассмотреть отдельно друг от друга.

Условие Лежандра является необходимым условием слабого минимума (если сменить знак неравенства -- то максимума). Одновременное выполнение условий Якоби и усиленного Лежандра -- это достаточные условия слабого минимума (максимума -- при смене знака неравенства). Если выполнено усиленное условие Лежандра, то условие Якоби является необходимым, т.е. если где-то на $%(0,1)$% нетривиальное решение уравнения Якоби обратилось в 0, то экстремума нет.

Уравнение Якоби по переменной $%x_1$% имеет вид $%4a\ddot h+h=0$%. Будем считать, что $%a\ne0$%. Тогда при $%a<0$% решение уравнения, удовлетворяющее условию $%h(0)=0$%, имеет вид $%h(t)=C\text{sh}\sqrt{-\frac{1}{4a}}t$% -- это не обращается в 0 больше нигде. При $%a>0$% получаем $%h(t)=C\sin\frac{1}{2\sqrt a}t\ne0$% при $%t\in(0,1]$%, только при условии, что $%\frac{1}{2\sqrt a}<\pi$%, т.е. $%a>\frac{1}{4\pi^2}$%. Итак, условие Якоби по $%x_1$% выполняется при $%a<0$% или при $%a>\frac{1}{4\pi^2}$%. Не вдаваясь в детали (ибо всё аналогично), по $%x_2$% получим, что условие Якоби выполнено при $%a>-1$% или $%a<-1-\frac{1}{2\pi^2}$%. И случай $%a=-1$% остаётся нерассмотренным. В итоге условие Якоби по обеим переменным выполняется при $%a\in(-\infty,-1-\frac{1}{2\pi^2})\bigcup(-1,0)\bigcup(\frac{1}{4\pi^2},+\infty)$%. В граничных точках $%-1-\frac{1}{2\pi^2}$% и $%\frac{1}{4\pi^2}$% условие Якоби в части необходимости выполнено, (усиленное условие Лежандра в этих точках легко проверяется, см. также ниже). Поэтому эти точки могут быть, соответственно слабым максимумом и минимумом. В таких случаях говорят слова "дополнительное исследование" (по определению их исследовать, очевидно, крайне затруднительно), возможно, тут надо просто устроить численный перебор и увидеть, что нужные неравенства из определений максимума и минимума в каких-то точках не выполняются.

Далее, $%L_{\dot x\dot x}\mid_{\hat x}= \left( \begin{matrix}4a & 0 \\0 & 2(a+1) \end{matrix} \right)$%. Матрица положительно определена, если $%4a>0$% и $%8a(a+1)>0$%, т.е. при $%a>0$%. В совокупности с условием Якоби это даёт, что при $%a>\frac{1}{4\pi^2}$% у нас в наличии слабый минимум. Матрица отрицательно определена, если $%4a<0$% и $%8a(a+1)>0$% и из условия Якоби получаем, что локальный максимум будет при $%a<-1-\frac{1}{2\pi^2}$%. Если же $%a\in(-1,0)$%, то, как легко проверить, матрица $%L_{\dot x\dot x}\mid_{\hat x}$% не будет неотрицательно и неположительно определённой, т.е. обычное условие Лежандра не выполнено и экстремума нет.

Осталось исследовать точки $%a=0,-1$%. При $%a=0$% выполняется условие Лежандра, необходимое для локального минимума, т.к. матрица неотрицательно определена. При $%a=-1$% условие Лежандра выполнено уже на максимум.

Исследуем случай $%a=0$%. Приращение имеет вид: $%I(\hat x+h)-I(\hat x)=\displaystyle\int\limits_0^1(1-\text{ch}h_1+1-\cos h_2+\dot h_2^2)dt$%. Покажем, что, вопреки определению слабого минимума, $%\forall\varepsilon>0$% найдётся непрерывно дифференцируемая допустимая функция $%h$% такая, что $%\|h\|_1<\varepsilon$%, $%h(0)=h(1)=0$%, но $%I(\hat x+h)-I(\hat x)<0$%. Действительно, выбирая $%h_1=\frac{\varepsilon}{2\pi}\sin\pi t$%, $%h_2=0$%, получаем, что $%\|h\|_1<\varepsilon$%, а $%I(\hat x+h)-I(\hat x)=\displaystyle\int\limits_0^1(1-\text{ch}(\frac{\varepsilon}{2\pi}\sin\pi t))dt<0$%.

Пусть $%a=-1$%, тогда $%I(\hat x+h)-I(\hat x)=\displaystyle\int\limits_0^1(1-\text{ch}h_1+1-\cos h_2+\dot h_1^4-2\dot h_1^2)dt$%. Теперь выберем $%h_2=\frac{\varepsilon}{2\pi}\sin\pi t$%, $%h_1=0$% и получим, что $%I(\hat x+h)-I(\hat x)=\displaystyle\int\limits_0^1(1-\cos(\frac{\varepsilon}{2\pi}\sin\pi t))dt>0$%. Противоречие с определением слабого максимума.

ссылка

отвечен 6 Ноя 18:08

изменен 10 Ноя 8:05

Спасибо! А вот "дополнительное исследование" как обычно проводят?

(6 Ноя 20:24) frostik

@frostik, добавил дополнительное исследование.

(10 Ноя 7:37) caterpillar

Спасибо большое!

(10 Ноя 14:02) frostik
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×12

задан
4 Ноя 21:22

показан
98 раз

обновлен
10 Ноя 14:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru