Даны два множества A и B в R^n, одно из которых компактно, а другое замкнуто. Доказать, что в этих множествах найдутся такие точки a∈A и b∈B, что ро(a, b) = ро(A, B). Останется ли этот результат справедливым, если вместо R^n взять произвольное полное метрическое пространство?

задан 5 Ноя '19 0:00

Сомнительное утверждение, хотя контрпример сходу в голову не идёт. По-моему тут оба должны быть компактны. Тогда утверждение следует из непрерывности расстояний от точки до множества.

(5 Ноя '19 8:01) caterpillar
1

Насчёт сомнительности в $%\mathbb{R}^n$% я был не прав. Т.к. функция расстояния от точек до фиксированного множества непрерывна, то на компакте она достигает наименьшего значения, например, $%d(x_0,B)$%, где B -- замкнуто. Далее, считая, что $%d(x_0,B)=c$% и пользуясь свойством точной нижней грани, строим последовательность $%y_n\in B$% такую, что $%|x_0-y_n|<c+\frac{1}{n}<c+1$%, т.е. последовательность $%y_n$% ограничена, поэтому выделяется сходящаяся подпоследовательность и дальше всё получается.. В метрических пространствах этот принцип не работает, так что, видимо, надо искать контрпример.

(5 Ноя '19 20:39) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×28
×14

задан
5 Ноя '19 0:00

показан
413 раз

обновлен
5 Ноя '19 20:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru