Даны два множества в R^n , одно из которых компактно, а другое замкнуто. Доказать, что они пересекаются тогда и только тогда, когда расстояние между ними равно нулю. Останется ли этот результат справедливым, если а) не предполагать компактность одного из множеств, а считать их оба замкнутыми; б) вместо R^n взять произвольное полное метрическое пространство?

задан 5 Ноя '19 0:01

1

Пусть А компактно, а B замкнуто. Если они пересекаются, то найдётся точка x, принадлежащая A и B одновременно, тогда достигается нулевой инфимум расстояний, если взять в качестве элементов множеств A и B эту точку. Обратно, пусть inf|x-y|=0 по всем $%x\in A,\;y\in B$%. Тогда можно найти последовательности $%x_n\in A,\;y_n\in B$% такие, что $%|x_n-y_n|\to0$%. То же самое верно для любой подпоследовательности $%|x_{n_k}-y_{n_k}|$%. В силу компактности найдётся подпоследовательность $%x_{n_k}\to x_0\in A$%. В силу неравенства треугольника и замкнутости $%y_{n_k}\to x_0\in B$%. Нашли общую точку.

(5 Ноя '19 6:33) caterpillar
1

Если оба множества замкнуты, то контрпримером будет в пространстве $%\mathbb{R}^2$% пара множеств: A={(x,y):y=0}, B={(x,y):xy=1}. В произвольном полном метрическом пространстве исходное утверждение также верно, т.к. в нём компактность и секвенциальная компактность эквивалентны, все утверждения и последовательностях и подпоследовательностях сохраняются, неравенство треугольника также есть.

(5 Ноя '19 6:36) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×27
×14

задан
5 Ноя '19 0:01

показан
466 раз

обновлен
5 Ноя '19 6:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru