$%\int_0^\infty \frac{x - \sin x}{x^3}dx$% требуется почитать интеграл, представив подинтегральное выражение в виде $%\Re e$% или $%\Im m$%. Что-то не очень выходит.

задан 5 Ноя 20:43

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$ I=\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{x - \sin x}{x^3}dx $$ Рассматриваете интеграл $$ J(r,R)=\int\limits_{\Gamma(r,R)} \frac{z +i\cdot e^{iz}}{z^3}dz $$ по контуру со страницы 234 (рисунок 71) учебника Сидоров, Федорюк, Шабунин... и сморите там же примеры 5 и 6...

ссылка

отвечен 5 Ноя 21:11

изменен 5 Ноя 21:14

@all_exist, боюсь, такое тут не сработает, ибо полюс получается третьего порядка и лемма о полувычете пролетает со свистом) Надо в числителе поставить z+i(e^(iz)-1), тогда исходный интеграл получится как раз взятием действительной части.

(5 Ноя 21:14) caterpillar

@caterpillar, в окрестности нуля функция имеет разложение $%\frac{i}{z^3}-\frac{i}{z}+h(z)$%... интеграл от первого слагаемого по полуокружности малого радиуса равен нулю, что проверяется явно... второе даёт половину вычета... третье стремится нулю в пределе...

Вроде всё нормально ... откуда паника?... )))

(5 Ноя 21:34) all_exist

@all_exist, паника от первого Вашего слагаемого)) там не ноль, если параметризовать, а расходимость, мы же к нулю устремляем. Я выше предложил, как исправить Ваш ответ. Хотя стоп! Там же экспонента даст чётную степень, тада всё нормально, паника отменяется!

(5 Ноя 21:38) caterpillar

@caterpillar, мы же сначала вычисляем, а потом переходим к пределу... $$ \int_{\omega_r} \frac{i}{z^3}\;dz = \int\limits_{0}^{\pi} \frac{i\; d(re^{i\varphi})}{r^3e^{3i\varphi}} = \int\limits_{0}^{\pi} \frac{- d\varphi}{r^2e^{2i\varphi}} = \frac{e^{-2i\varphi} }{2ir^2}\Big|_{0}^{\pi} =0 \to 0,\;\; \text{при} \;r\to 0 $$

(5 Ноя 21:47) all_exist
1

@all_exist, не сочтите за наглость, но сюда так и просится это)) До того, как всё поправили)) Только Вы ещё ро потеряли.

(5 Ноя 21:50) caterpillar

@caterpillar, но сюда так и просится это)) - :D ... в тему...

Только Вы ещё ро потеряли - ну, это как водится...

(5 Ноя 21:56) all_exist

@all_exist, а $%w_r$% это у Вас маленькая полуокружность?

(6 Ноя 1:48) Forever

@all_exist, и как Вы посчитали интеграл от экспоненты деленной на $%z^3$%, там ведь полюс третьего порядка, а не первого

(6 Ноя 2:03) Forever

@all_exist, я разобрался

(6 Ноя 2:15) Forever

@all_exist, @caterpillar: спасибо

(6 Ноя 2:16) Forever
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×143

задан
5 Ноя 20:43

показан
78 раз

обновлен
6 Ноя 2:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru