Найдите интервал сходимости ряда и исследуйте поведение этого ряда в его граничных точках: $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{[\log_2k]}}{k}x^k$$

задан 5 Ноя 23:57

10|600 символов нужно символов осталось
2

Радиус сходимости ряда равен 1 по формуле Коши - Адамара. Отсюда получаем интервал сходимости $%(-1;1)$%. Проверим концевые точки.

При $%x=1$% имеем ряд $%1-(\frac12+\frac13)+(\frac14+\cdots+\frac17)-\cdots$%. Заметим, что члены с номерами вида $%2^k$%, ... , $%2^{k+1}-1$% имеют один и тот же знак. При этом $%\frac1{2^k}+\cdots+\frac1{2^{k+1}-1} > \frac12$%, так как слагаемых здесь $%2^k$%, и каждое из них больше $%\frac1{2^{k+1}}$%. Отсюда следует расходимость ввиду критерия Коши: достаточно для значения $%\varepsilon=\frac12$% взять номер $%N$% такой, что $%|a_n+\cdots+a_m| < \varepsilon$% при $%m > n\ge N$% и далее взять $%n=2^k$%, $%m=2^{k+1}-1$% при достаточно большом $%k$%.

Пусть теперь $%x=-1$%. Рассмотрим ряд $%1-\frac12+\frac13+\frac14-\cdots$%. Он сходится по признаку Лейбница. Введём обозначение $%a_s=\frac1{2s}-\frac1{2s+1}$%. Тогда мы получим, что ряд $%a_1+a_2+\cdots$% с положительными членами сходится. Ряд из условия для $%x=-1$% будет иметь вид $%1-a_1+(a_2+a_3)-(a_4+a_5+a_6+a_7)-\cdots$%. Он является сходящимся, так как сходится абсолютно ввиду сказанного выше.

ссылка

отвечен 6 Ноя 1:49

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,346
×722
×399
×19

задан
5 Ноя 23:57

показан
52 раза

обновлен
6 Ноя 1:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru