комплексный-анализ - Вычислить интеграл $%∫_0^π(cos^2 φdφ)/(1-0.5sin^2 φ)$%

Сначала делаем стандартную тригонометрическую замену $%t={\mathop{\rm tg\ }}(\varphi/2)$%. При этом $%t$% изменяется от $%0$% до бесконечности, $%d\varphi=2dt/(1+t^2)$%, а косинус и синус выражаются по известным формулам $%\cos\varphi=(1-t^2)/(1+t^2)$%, $%\sin\varphi=2t/(1+t^2)$%. После подстановки всего этого в интеграл получается $$2\int\limits_0^{+\infty}\frac{(1-t^2)^2\,dt}{(1+t^4)(1+t^2)}=\int\limits_{\infty}^{+\infty}\frac{(1-t^2)^2\,dt}{(1+t^4)(1+t^2)}=\lim\limits_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^{R}\frac{(1-t^2)^2\,dt}{(1+t^4)(1+t^2)}.$$

Теперь строим контур интегрирования, состоящий из двух частей: отрезка вещественной прямой от $%-R$% до $%R$%, ориентированного слева направо, и дуги окружности с центром в нуле радиусом $%R$%, расположенной в верхней полуплоскости и ориентированной против часовой стрелки. Интеграл по всему контуру равен $%2\pi i$% умножить на сумму вычетов в особых точках, расположенных внутри контура. Это точки $%i$% и $%(\pm1+i)/\sqrt{2}$%.

Интеграл от функции комплексного аргумента по дуге полуокружности стремится к нулю при $%R\to\infty$%. Это ясно из того, что модуль интегрируемой функции при больших $%R$% имеет порядок $%R^{-2}$%, а длина дуги равна $%\pi R$%, то есть модуль интеграла оценивается величиной $%O(R^{-1})$% и потому стремится к нулю. Поэтому при $%R\to\infty$% предел того интеграла от $%-R$% до $%R$%, который был выписан выше, стремится к произведению $%2\pi i$% на сумму вычетов.

Эти вычеты вычисляются стандартно. Все полюса однократные, и потому выделяем множитель вида $%t-z_0$% в знаменателе, где $%z_0$% -- один из полюсов, а далее подставляем $%z_0$% в то, что делится на $%t-z_0$%. Вычисления я проделал, но не буду их здесь приводить. В точке $%i$% после домножения на $%2\pi i$% получается значение $%2\pi$%. В двух остальных точках, также после домножения, получаются равные значения $%-\pi/\sqrt{2}$%. Складывая всё вместе, получаем ответ, равный $%\pi(2-\sqrt{2})$%.

Добавление. Вот несколько слов по поводу процедуры нахождения вычетов в тех точках, где имеются однократные полюса. Допустим, речь идёт о вычете функции в точке $%t=i$%. Саму функцию при этом можно представить в виде $$\frac1{t-i}\cdot\frac{(1-t^2)^2}{(1+t^4)(t+i)}.$$ Коэффициент при $%(t-i)^{-1}$% в разложении в ряд Лорана (то есть вычет) находится как предел функции, которая присутствует в формуле выше как второй сомножитель, при $%t$% стремящемся к $%i$%. Эта функция непрерывна в точке $%t=i$%, то есть достаточно это значение в неё подставить, и это будет вычет.