Найти все $%x$% ,при которых оба числа : $% \cos 2018x + \cos2019x$% и $%\sin2018x + \sin2019x$% - рациональные

задан 6 Ноя '19 18:53

2

Для начала можно заметить ,что $%(\cos 2018x + \cos2019x)^2 +( \sin2018x + \sin2019x)^2 = 2 + 2\cos x$% , поэтому $% \cos x \in Q$%

(7 Ноя '19 16:12) potter

А как дальше решать можете подсказать ?

(23 Мар 2:05) Kirill112211
1

$%\cos nx = P_n(\cos x), \, \, \sin nx = \sin x \cdot Q_{n-1}(\cos x)$%, где $%P_n(x), Q_n(x)$% - некоторые многочлены степени $%n$% с целыми коэффициентами.
С учетом замечания выше, оба числа будут рациональными тогда и только тогда, когда $%\sin x$% и $%\cos x$% будут рациональными. Это задача на рациональные точки на окружности, что почти эквивалентно задаче о пифагоровых тройках.
$%x = \pi k + \operatorname{arctg}\frac {2mn}{m^2-n^2}, \,\, k,m,n \in \mathbb Z$%

(23 Мар 12:59) spades
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×962
×20

задан
6 Ноя '19 18:53

показан
347 раз

обновлен
23 Мар 13:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru