$$ \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2k-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot (2k)} $$

задан 9 Ноя '19 14:20

Сходится по признаку Лейбница...

(9 Ноя '19 14:25) all_exist

Спасибо❤️)

(9 Ноя '19 14:26) Diana20001
10|600 символов нужно символов осталось
0

Применим признак Лейбница. Положим $%a_k=\frac{1\cdot3\cdot\ldots\cdot(2k-1)}{2\cdot4\cdot\ldots\cdot(2k)}$%. Проверим, что эта последовательность монотонно стремится к нулю. Убывание очевидно, так как $%a_{k+1}=a_k\cdot\frac{2k+1}{2k+2} < a_k$%.

Далее, $%a_k=(1-\frac12)(1-\frac14)\ldots(1-\frac1{2k})$%. Применим известное неравенство $%1-x < e^{-x}$% при $%x\ne0$%. Получится $%a_k < e^{-\frac12(1+1/2+\cdots+1/k)}$%, что стремится к нулю, так как гармонический ряд расходится.

ссылка

отвечен 9 Ноя '19 14:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,951
×835
×444

задан
9 Ноя '19 14:20

показан
173 раза

обновлен
9 Ноя '19 14:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru