Найти число сущ. разл. раскрасок куба в 3 цвета (число орбит на мн-ве раскр. в фиксир. 3 цвета кубов отн. действия группы вращения)? Тут нужна форма Бернсайда: |X/G| = 1/|G| ∑(x^g) g є G

задан 11 Ноя '19 19:08

изменен 12 Ноя '19 4:18

1

@JamesBong: если мне память не изменяет, то эта задача на форуме уже рассматривалась. Её в принципе можно решать и элементарными способами, не привлекая лемму Бернсайда. Ссылку, правда, не помню.

Важно уточнить, подразумевается ли, что все три цвета надо использовать. От этого зависит ответ.

(12 Ноя '19 10:39) falcao

А можете пожалуйста решить с помощью этой формулы? (Все три цвета надо использовать)

(12 Ноя '19 14:29) JamesBong

@falcao, уж не эта ли задача? math.hashcode.ru/questions/76201/

(13 Ноя '19 0:56) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: нет, это вопрос совсем на другую тему.

(13 Ноя '19 1:10) falcao

@falcao, спасибо большое!

(13 Ноя '19 21:18) JamesBong
10|600 символов нужно символов осталось
1

Я не уверен, что именно такой способ является лучшим, но рассмотрим решение при помощи леммы Бернсайда.

Группа вращений куба имеет 24 элемента. Это тождественное преобразование e; 8 поворотов на 120 градусов; 6 вращений на 90 градусов; 3 вращения на 180 градусов вокруг осей, перпендикулярных граням; 6 вращений на 180 градусов относительно осей, проходящих через середины противоположных рёбер.

Всего имеется 540 раскрасок куба в 3 цвета с использованием трёх цветов без учёта вращений. Это число сюръекций из 6 в 3, что легко находится по соответствующей формуле. Можно число Стирлинга II рода S(6,3)=90 умножить на 3!, получая то же самое.

Если раскраска переходит в себя при повороте на 120 градусов, то цветов получается не более двух, то есть этот случай отбрасываем.

Для вращения на 90 градусов вокруг оси Oz все боковые грани имеют один цвет. Выбираем его 3 способами. Верхнюю и нижнюю грани окрашиваем в два оставшихся цвета 2 способами. Итого 6 раскрасок с таким стабилизатором.

Вращения на 180 градусов относительно Oz: сюда входят предыдущие 6 раскрасок, а также такие, где левая и правая грань окрашены в первый цвет (3 способа), передняя и задняя во второй (2 способа). Верх и низ окрашиваем 3^2-2^2=5 способами, чтобы третий цвет появился. Перемножение даёт 30, и вместе будет 36.

Последний случай: грани разбиваются на пары симметричных, и тут 3!=6 способов инвариантной раскраски.

Осталось применить формулу: (1x540+8x0+6x6+3x36+6x6)/24=720/24=30 раскрасок с точностью до вращений.

ссылка

отвечен 13 Ноя '19 0:52

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×67
×49
×28
×10

задан
11 Ноя '19 19:08

показан
202 раза

обновлен
13 Ноя '19 21:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru