Добрый день, подскажите, пожалуйста, как решить это задание:

Задача: Может ли скалярное произведение в вещественном двумерном пространстве задаваться следующей функцией от координат векторов:

$%1)3x_1y_1 + 2x_1y_2 + x_2y_1 + x_2y_2$%

$%2)2x_1y_1 + x_1y_2 + x_2y_1 + 2x_2y_2$%

Предыдущие примеры на эту тему получилось решить проверкой третьей аксиомы скалярного произведения $%(x,x)>0$% $% \forall x \ne 0$%. Здесь для третьей аксиомы получаются уравнения для первого примера:

$%3x_1^2+x_2^2=-3x_1x_2$%.

Для второго:

$%x_1^2+x_2^2=-x_1x_2$%

В ответах написано, что первая функция не может задавать скалярного произведения, а вторая может. Как тут доказать, что для ненулевого вектора сумма утроенного квадрата первой координаты с квадратом второй может быть равна отрицательному утроенному произведению их координат для первого примера и, что сумма квадратов координат не может быть равна их отрицательному произведению для второго случая?

задан 12 Ноя '19 14:50

Проверяйте знакоопределённость квадратичной формы.

(12 Ноя '19 14:57) caterpillar

Как проверять квадратичную форму на знакоопределённось знаете?...

(12 Ноя '19 14:58) all_exist

Если каких-нибудь критериев не проходили, то выделяйте полный квадрат...

(12 Ноя '19 15:00) all_exist

Спасибо большое за помощь, теперь понятно стало.

(12 Ноя '19 15:24) Romaru

Прошу прощения, но в примере 1 получается матрица квадратичной формы (запишу в строку: М=(3, 3/2, 3/2, 1). Она по критерию Сильвестра положительно определенная, но при этом в ответе написано, что скалярное произведение такой функцией не задать?

(12 Ноя '19 15:40) Romaru

@Romaru: в первом примере форма не симметрична.

(12 Ноя '19 16:07) falcao

@Romaru, дык, все аксиомы проверять-то надо.

(12 Ноя '19 16:19) caterpillar

Спасибо, я не понимал, как перенести требование симметрии на координаты.

(12 Ноя '19 16:26) Romaru
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,470

задан
12 Ноя '19 14:50

показан
412 раз

обновлен
12 Ноя '19 16:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru