Помогите решить типовой. Определить массу тела, ограниченного поверхностями: $%2x+z=2a$%; $%x+z=a$%; $%y^2=ax$%, $%y=0$%, если плотность в каждой точке тела равна ординате этой точки. Заранее большое спасибо!

задан 2 Июн '13 17:35

изменен 5 Июн '13 3:29

falcao's gravatar image


191k1632

1

"плотность в каждой точке равна координате этой точки".. у точки в пространстве 3 координаты.. =(
а вообще задание "типовое" - тело ограничено параболическим цилиндром и тремя плоскостями..

(2 Июн '13 17:45) ЛисаА

пробую решить не получаеться((( можете помочь?

(3 Июн '13 17:39) sasha_QA

@sasha001: помочь никто не сможет, пока не исправите условие. Вам ведь объяснили, что там написано нечто, не имеющее смысла. Сами посудите: вот есть у меня точка, скажем, $%(1,2,3)$%. Я хочу определить плотность тела в этой точке. Мне говорят, что она равна координате. Но координат три, и все они разные. Это называется "принеси то, не знаю что".

(3 Июн '13 18:29) falcao

понимаю, хорошо, завтра спрошу у преподавателя почему ошибка в методичке. Спасибо

(3 Июн '13 18:32) sasha_QA

@sasha001: конечно, причём это сразу надо было сделать, так как решить задачу без такой информации в принципе невозможно. Кстати, там ещё ошибка в падеже: должно быть "координате точки". В хорошо выверенных текстах пособий такого быть не должно.

(3 Июн '13 18:54) falcao

Спросила, вот правильное условие: Определить массу тела, ограниченного поверхностями: 2x+z=2a, x+z=a,y^2=ax,y=0, если плотность в каждой точке тела равна ОРДИНАТЕ этой точки.

(4 Июн '13 17:59) sasha_QA
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

@sasha001, не знаю, поможет ли это - но рисунок примерно такой:
alt text

Масса тела = тройной интеграл от подынтегральной функции, задающей плотность в каждой точке - т.е. у Вас от $%f(x;y;z) = y$% . А пределы интегрирования - попробуйте расставить сами..(нарисовано, может, не очень внятно - но видно, "от чего до чего" меняется $%z$%, и какая область на плоскости $%XY$% будет проекцией такого тела..)

ссылка

отвечен 5 Июн '13 2:32

изменен 5 Июн '13 2:34

Я сейчас смотрел условие, и у меня возникло определённое недоумение. Ваша трактовка того, какие поверхности имеются в виду, наиболее естественна. Но тогда в начале должно быть два уравнения вида $%2x+z=a$% и $%2ax+z=a$%. Приравнивание между собой двух величин, стоящих в левой части, является "вольностью", так как речь идёт об уравнения двух разных поверхностей. Тут или опечатки, или небрежность составителей условия.

(5 Июн '13 2:44) falcao

Да там в комментарии выше эти 2 уравнения плоскостей записаны через запятую - и по-моему, так и было, когда задание только появилось в первый день.. это позже запятая потерялась =) (на самом деле я вообще не додумалась бы, что означает такое двойное равенство: $%2x + z = 2ax + z = a$%
=))

(5 Июн '13 2:49) ЛисаА

@sasha001: так ведь этот цилиндр уже изображён на рисунке (чёрным цветом). То есть понятно, как он выглядит геометрически. Если Вас смущает, что в уравнении отсутствует $%z$%, то так и должно быть: от значения $%z$% ничего не зависит. А это значит, что рисуется парабола в плоскости $%Oxy$%, а потом она движется вверх и вниз параллельно себе, и это даёт параболический цилиндр. Сечение цилиндра любой плоскостью вида $%z=k=const$% будет давать такую же по форме параболу.

(6 Июн '13 14:19) falcao

а прямые..z=a−x, z=2a−2x..как правильно построить по координатам?

(6 Июн '13 14:36) sasha_QA

@sasha001: это не прямые, а плоскости. Они параллельны оси $%Oy$%, поэтому уравнение от $%y$% не зависит. Эти плоскости изображены на рисунке. Строятся они просто: в плоскости $%Oxz$% рисуются как прямые, и далее разносятся вдоль оси $%Oy$% параллельно самим себе.

(7 Июн '13 0:29) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

После уточнения условия стало ясно, что надо делать.

На плоскости $%Oxy$% мы имеем прямую $%y=0$%, параболу $%y^2=ax$%, и ещё линию пересечения с плоскостями $%z=a-x$%, $%z=2a-2x$%: это линия $%x=a$%. Таким образом, $%x$% меняется от $%0$% до $%a$%; $%y$% меняется от $%0$% до $%\sqrt{ax}$%. Поскольку $%x\le a$%, выполнено неравенство $%a-x\le2a-2x$%, то есть $%z$% меняется от первого значения до второго. Интегрируем же мы функцию, равную ординате, то есть $%y$%. После перехода от тройного интеграла к кратному интегралу, в котором расставлены пределы интегрирования, имеем следующее: $$\int\limits_0^adx\int\limits_0^{\sqrt{ax}}y\,dy\int\limits_{a-x}^{2a-2x}dz.$$ Вычисления тут совсем простые, и я их опускаю. Ответом будет $%a^4/12$%.

ссылка

отвечен 5 Июн '13 3:27

угу, совсем простые..но не получаються(( не проходили мы их..больше часа голову ломаю..

(5 Июн '13 18:57) sasha_QA
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×940

задан
2 Июн '13 17:35

показан
3013 раз

обновлен
7 Июн '13 0:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru