|
Помогите решить типовой. Определить массу тела, ограниченного поверхностями: $%2x+z=2a$%; $%x+z=a$%; $%y^2=ax$%, $%y=0$%, если плотность в каждой точке тела равна ординате этой точки. Заранее большое спасибо! задан 2 Июн '13 17:35 
sasha_QA
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
@sasha001, не знаю, поможет ли это - но рисунок примерно такой: Масса тела = тройной интеграл от подынтегральной функции, задающей плотность в каждой точке - т.е. у Вас от $%f(x;y;z) = y$% . А пределы интегрирования - попробуйте расставить сами..(нарисовано, может, не очень внятно - но видно, "от чего до чего" меняется $%z$%, и какая область на плоскости $%XY$% будет проекцией такого тела..) отвечен 5 Июн '13 2:32 
ЛисаА Я сейчас смотрел условие, и у меня возникло определённое недоумение. Ваша трактовка того, какие поверхности имеются в виду, наиболее естественна. Но тогда в начале должно быть два уравнения вида $%2x+z=a$% и $%2ax+z=a$%. Приравнивание между собой двух величин, стоящих в левой части, является "вольностью", так как речь идёт об уравнения двух разных поверхностей. Тут или опечатки, или небрежность составителей условия.
(5 Июн '13 2:44)
falcao
Да там в комментарии выше эти 2 уравнения плоскостей записаны через запятую - и по-моему, так и было, когда задание только появилось в первый день.. это позже запятая потерялась =) (на самом деле я вообще не додумалась бы, что означает такое двойное равенство: $%2x + z = 2ax + z = a$%
(5 Июн '13 2:49)
ЛисаА
@sasha001: так ведь этот цилиндр уже изображён на рисунке (чёрным цветом). То есть понятно, как он выглядит геометрически. Если Вас смущает, что в уравнении отсутствует $%z$%, то так и должно быть: от значения $%z$% ничего не зависит. А это значит, что рисуется парабола в плоскости $%Oxy$%, а потом она движется вверх и вниз параллельно себе, и это даёт параболический цилиндр. Сечение цилиндра любой плоскостью вида $%z=k=const$% будет давать такую же по форме параболу.
(6 Июн '13 14:19)
falcao
а прямые..z=a−x, z=2a−2x..как правильно построить по координатам?
(6 Июн '13 14:36)
sasha_QA
|
|
После уточнения условия стало ясно, что надо делать. На плоскости $%Oxy$% мы имеем прямую $%y=0$%, параболу $%y^2=ax$%, и ещё линию пересечения с плоскостями $%z=a-x$%, $%z=2a-2x$%: это линия $%x=a$%. Таким образом, $%x$% меняется от $%0$% до $%a$%; $%y$% меняется от $%0$% до $%\sqrt{ax}$%. Поскольку $%x\le a$%, выполнено неравенство $%a-x\le2a-2x$%, то есть $%z$% меняется от первого значения до второго. Интегрируем же мы функцию, равную ординате, то есть $%y$%. После перехода от тройного интеграла к кратному интегралу, в котором расставлены пределы интегрирования, имеем следующее: $$\int\limits_0^adx\int\limits_0^{\sqrt{ax}}y\,dy\int\limits_{a-x}^{2a-2x}dz.$$ Вычисления тут совсем простые, и я их опускаю. Ответом будет $%a^4/12$%. отвечен 5 Июн '13 3:27 
falcao угу, совсем простые..но не получаються(( не проходили мы их..больше часа голову ломаю..
(5 Июн '13 18:57)
sasha_QA
|
"плотность в каждой точке равна координате этой точки".. у точки в пространстве 3 координаты.. =(
а вообще задание "типовое" - тело ограничено параболическим цилиндром и тремя плоскостями..
пробую решить не получаеться((( можете помочь?
@sasha001: помочь никто не сможет, пока не исправите условие. Вам ведь объяснили, что там написано нечто, не имеющее смысла. Сами посудите: вот есть у меня точка, скажем, $%(1,2,3)$%. Я хочу определить плотность тела в этой точке. Мне говорят, что она равна координате. Но координат три, и все они разные. Это называется "принеси то, не знаю что".
понимаю, хорошо, завтра спрошу у преподавателя почему ошибка в методичке. Спасибо
@sasha001: конечно, причём это сразу надо было сделать, так как решить задачу без такой информации в принципе невозможно. Кстати, там ещё ошибка в падеже: должно быть "координате точки". В хорошо выверенных текстах пособий такого быть не должно.
Спросила, вот правильное условие: Определить массу тела, ограниченного поверхностями: 2x+z=2a, x+z=a,y^2=ax,y=0, если плотность в каждой точке тела равна ОРДИНАТЕ этой точки.