Исследовать ряд на сходимость при любом значении параметра а $$\sum_{n = 1}^{\infty} \left | ln (arctg\frac{1}{n})-ln (tg \frac{1}{n})\right |^{a}$$

задан 13 Ноя '19 0:37

Выделяйте главную часть по формулам Тейлора. Сперва разложите внутренние функции, потом вынесите и сократите ln(1/n), потом раскладывайте логарифмы, потом -- степень.

(13 Ноя '19 4:43) caterpillar

@caterpillar то есть сначала надо расписать тангенс и арктангенс по разложениям теойлора? А потом как их вынести? Можете пожалуйста написать поподробнее?

(13 Ноя '19 18:06) ъеъ
10|600 символов нужно символов осталось
0

$%\ln(\text{tg}\frac{1}{n})=\ln(\frac{1}{n}+\frac{1}{3n^3}+O(\frac{1}{n^5}))=\ln(\frac{1}{n})+\ln(1+\frac{1}{3n^2}+O(\frac{1}{n^4}))$% $%\ln(\text{arctg}\frac{1}{n})=\ln(\frac{1}{n}-\frac{1}{3n^3}+O(\frac{1}{n^5}))=\ln(\frac{1}{n})+\ln(1-\frac{1}{3n^2}+O(\frac{1}{n^4}))$%

$$\ln(\text{arctg}\frac{1}{n})-\ln(\text{tg}\frac{1}{n})=\ln(1-\frac{1}{3n^2}+O(\frac{1}{n^4}))-\ln(1+\frac{1}{3n^2}+O(\frac{1}{n^4}))=$$$$=-\frac{1}{3n^2}+O(\frac{1}{n^4})-\frac{1}{3n^2}+O(\frac{1}{n^4})=-\frac{2}{3n^2}+O(\frac{1}{n^4}).$$

Тогда общий член ряда примет вид $%(\frac{2}{3n^2}+O(\frac{1}{n^4}))^a\sim\frac{2}{3n^{2a}}$% и сходимость будет только при $%a>\frac{1}{2}$%.

ссылка

отвечен 13 Ноя '19 18:42

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,456
×740
×410
×262
×249

задан
13 Ноя '19 0:37

показан
77 раз

обновлен
13 Ноя '19 18:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru