Исследовать сходимость несобственного интеграла, используя признаки для знакопостоянных функций 1)$$\int_{-1}^{0}\sqrt[3]{\frac{1-x}{1+x}}ln(2+x)dx$$ 2)$$\int_{0}^{+\propto} \frac{e^{\sqrt{x}}dx}{\sqrt{\sqrt[3]{x+1}-1}sin\frac{x}{x+1}}$$

задан 13 Ноя '19 8:37

Выписывайте эквивалентные функции...

(13 Ноя '19 9:08) all_exist

@all_exist можете пожалуйста подробно расписать хотя бы один пример?

(14 Ноя '19 0:34) ъеъ

А что у Вас не получилось?...

Вы не знаете чему эквивалентен логарифм?... или синус?... или корень минус один?...

(14 Ноя '19 0:43) all_exist

@all_exist по эквивалентности у меня не очень получилось. Я пыталась разложить по Тейлору $$\int_{-1}^{0}\sqrt[3]{\frac{1-x}{1+x}}\ln(2+x)dx=\int_{-1}^{0}\frac{\sqrt[3]{{1-x}}}{1+\frac{x}{3}+o(x^{2})}*(ln2+\frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{8}+o(x^{4}))$$. Я не знаю что делать дальше. Второе тоже хотела по Тейлору, не очень вышло

(14 Ноя '19 21:04) ъеъ
10|600 символов нужно символов осталось
1

Эквивалентные функции суть первый ненулевой член формулы Тейлора... только раскладывать надо не авось где, а в окрестности особой точки подынтегральной функции...

№1 - интеграл имеет особенность в нижнем пределе интегрирования, поскольку там знаменатель обращается в нуль... Тогда при $%x\to -1$% имеем, что $$ 1-x \sim 2, \quad \ln(2+x) = \ln(1+[1+x]) \sim 1+x $$ Таким образом, подынтегральная функция эквивалентна $%\dfrac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{1+x}}\cdot (1+x)$%... то есть функция имеет устранимую особенность, следовательно, интеграл сходится...

№2 - интеграл имеет две особенности - бесконечность и нуль (в котором знаменатель функции обращается в нуль)...

На бесконечности $$ \frac{x}{x+1} \to 1 \quad\Rightarrow\quad \sin \frac{x}{x+1} \sim \sin 1 $$ $$ \sqrt{ \sqrt[3]{x+1}-1 } \sim \sqrt[6]{x} $$ Итого, подынтегральная функция эквивалентна $%C\cdot \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt[6]{x}}$%... для этой функции не выполняется необходимый признак...

Тем не менее доисследуем в нуле $$ \sin \frac{x}{x+1} \sim \frac{x}{x+1} \sim x $$ $$ \sqrt{ \sqrt[3]{x+1}-1 } \sim \sqrt{ \frac{x}{3} } $$ $$ e^{\sqrt{x}} \sim e^0 = 1 $$ Итого, подынтегральная функция эквивалентна $%\dfrac{C}{x\cdot\sqrt[6]{x}}$%, откуда опять же следует расходимость...

ссылка

отвечен 14 Ноя '19 21:39

1

@all_exist, я, конечно, извиняюсь за серость, но что такое необходимый признак для несобственного интеграла?

(15 Ноя '19 4:15) caterpillar

@caterpillar, ну, типа положительная монотонная функция должна к нулю стремиться... (хотя может быть это я допустил некую вольность в терминологии... как говорится, "сказал своё слово в математике")... :)

(15 Ноя '19 5:13) all_exist
1

@all_exist, ага, резануло) Вы-то сказали и забыли, а у человека отложиться может (и скорее всего, отложится, с последствиями)). По-моему, тут лучше сказать про признак сравнения. Безопаснее)

(15 Ноя '19 5:24) caterpillar

Каюсь, грешен... :)

(15 Ноя '19 10:46) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,590
×1,262
×270
×133

задан
13 Ноя '19 8:37

показан
176 раз

обновлен
15 Ноя '19 10:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru